Hizo una observación en números primos, para comprobar si existe cualquier conjetura o no?

Question

Soy un programador informático de profesión y estoy interesado en la teoría de números. Como muchos otros estoy intrigado por números primos. Basado en mi observación, he encontrado la siguiente para ser verdad

Si $n$ es un número primo, entonces hay existir al menos un primer entre $n^2$ y $n^2+n$

No estoy seguro de si esta conjetura ya existe? He intentado buscar en internet pero no se encontró ninguna exacto de la conjetura.

Me gustaría saber, primero de todo es que mi declaración es correcta? si no, puede cualquiera me proporcione un contraejemplo en el que falla. Si esta afirmación es correcta, no esta conjetura ya propuesta por alguien?

Answer 1

Suponiendo que la conjetura de Oppermann (https://en.wikipedia.org/wiki/Oppermann%27s_conjecture) es cierto, puedo incluso te digo uno de los números primos.

Una de las desigualdades elementales, derivadas de la definición de la $\pi(n)$ es $p_ {\pi (n)} \leq n < p_ {\pi (n) + 1} $. Por lo tanto, para cualquier $p$-prime y conjetura de asumir Oppermann, contamos con: $$ p_ {\pi (p ^ {2})} \leq p ^ {2} < p_ {\pi (p ^ {2}) + 1} < p ^ {2} + p$ $

Answer 2

Esta es una respuesta a la última parte de tu pregunta: tiene esta conjetura ha propuesto ya?. Mi respuesta es: no, no la mejor de mis muy limitados conocimientos.

Sin embargo, como se mencionó en los comentarios, esta declaración es un debilitamiento de la/especialización de Opperman de la conjetura. Para una refutación/contra-ejemplo de esta conjetura podría conducir a una refutación de Opperman de la conjetura, que sería un enorme resultado en matemáticas, así que yo no esperaría que a llegado demasiado fácil.

Ahora la pregunta es, ¿es duro este caso especial relativa al conjunto de la conjetura? Más específicamente, cómo mucho más fácil que hace la conjetura de conseguir cuando restringimos $n$ a sólo números primos? Hay trucos que pueden explotar, sabiendo que $n$ es primo, que no se podía explotar en el caso general? La decepcionante respuesta es: no sé. Podría ser que hay una relativamente elemental prueba de esta conjetura, la explotación de la primeness de $n$, mientras que el Opperman la conjetura requiere mucho más "maquinaria pesada" para probar. O bien podría ser que Opperman la conjetura es falsa y esta la verdad. O podría ser que ambos son falsos, pero los contra-ejemplos están más allá de nuestro presente poder computacional. O tal vez vamos a encontrar un contra-ejemplo a Opperman de la conjetura, pero este sigue sin esclarecerse para otro siglo. Hay muchas posibilidades.

En cualquier caso, yo aconsejaría investigación más profunda en Opperman de la conjetura para obtener más respuestas a esta pregunta. Tal vez un experto en esa área va a saber la respuesta a esta pregunta.

Answer 3

Esto es solo un comentario que me parece pertinente.

Bertrand postulado se asegura de que siempre hay un primo entre n y 2n para n> 1 (no es un refinamiento asegurarse de que hay un primo entre n y 2n-2 para todo n> 3). Ahora bien, es claro que 2n tiene un predecesor primer p=2n-1 para una infinidad de n; sin embargo por lo general hay más de un primo entre n y 2n (en particular, una Erdös ello asegurar que para todos los k hay un N tal que para todo n> N hay al menos k de los números primos entre n y 2n.

A lo que voy es que tu supongo que reduce considerablemente el rango de números enteros adoptadas por Bertrand. Parafraseo su declaración: "Para todos los primos p el intervalo abierto de enteros $(p^2, p^2 + p)$ siempre contiene un prime".

Descartar una subinterval de Bertrand que es p-1 veces más grande que el tuyo: sería muy interesante si es cierto. (Lo siento por mi inglés..)

Answer 4

No creo que la conjetura es verdadera.

Todos los compuestos de números entre $p_n^2$ y $p_{n+1}^2$ son divisibles por los números primos menores o iguales a $p_n$ porque $p_{n+1}$ es la más baja compuesto cuya menor factor primo es de $p_{n+1}.

Ahora considere la secuencia de los más bajos de los factores primos de números consecutivos de $p_n^2$ $p_n^2 +p_n$. Es obvio que comienza con $p_n$ y termina con $2$, por lo que ahora considere la posibilidad de rellenar el resto de la secuencia con los números primos estrictamente menor que $p_n$ donde están dispuestas en una forma de conservar la divisibilty propiedades de números consecutivos (búsqueda de "habitante" en este foro de una definición más formal de esta secuencia).

Sin duda, es posible crear un habitante con los números primos hasta $p_{n-1}$ (donde un habitante es una secuencia de números primos que, por definición, obedece a la divisibilty propiedades de números consecutivos), donde la secuencia tiene una longitud de más de $p_n$, dando a entender que el OP conjetura no es cierto.

A menos que haya una razón fundamental por la que ciertos tipos de habitantes no puede ocurrir entre $p_n^2$ y $p_n^2 + p_n$ (es decir, la prohibitation de $p_{n-1}$ moradores de longitud mayor que $p_n$), entonces el OP conjetura es falsa.

Un buen candidato para un primer número que refuta tu conjetura es de $p_n$ tales que existe una primorial número (o un múltiplo de uno) en un intervalo.

Sin embargo, yo podría estar equivocado !