Invertible Matrices densas

Question

Al leer acerca de álgebra lineal para las olimpiadas de matemáticas en estas notas, me encontré con la siguiente afirmación:

Observación. El conjunto de invertir matrices de formar un Zariski (denso) subconjunto abierto, y por lo tanto, para verificar un polinomio de identidad, es suficiente para comprobar que en este subconjunto denso.

Podría alguien dar una explicación de lo que significa ser un "Zariski (denso) subconjunto abierto"? Una prueba de este resultado es que se describe en las notas, pero siento que hay algo más profundo de la teoría que va debajo de el.

En caso de que alguien esté interesado, el autor tiene un conjunto similar de notas aquí.

Answer 1

Zariski densidad significa que cualquier polinomio de identidad en las entradas de un $n\times n$ matriz en la cual se mantiene en todos los invertible matrices mantiene en todas las matrices.

Si nosotros, además, están considerando la posibilidad de matrices con entradas en $\mathbb R$$\mathbb C$, entonces también podemos decir que cualquier identidad entre funciones continuas en el espacio de todas las $n\times n$ matrices que se mantiene en todos los invertible matrices mantiene en todas las matrices.

La prueba de funciones polinómicas no es difícil:

Podemos trabajar sobre cualquier infinito campo de $k$, lo que nos puede llevar a ser $\mathbb R$ $\mathbb C$ si te gusta.

Un polinomio en las entradas de un $n\times n$ matriz es solo un polinomio en $n^2$ variables.

• Compruebe que cualquier no-cero del polinomio en $n^2$ variables, hay al menos una matriz en la que no se desvanecen. (Aquí es donde usamos ese $k$ es infinita, y en última instancia se reduce al hecho de que los polinomios en una variable tiene sólo un número finito de ceros.)

• El determinante, que voy a denotar $\Delta$, es un no-cero del polinomio en $n^2$-variable.

• Supongamos que $f$ es un polinomio que se desvanece en todos los invertible matrices. A continuación, el producto $f \Delta$ se desvanece en todas las matrices. Por el primer punto, debe ser el cero del polinomio. Desde $\Delta$ es distinto de cero, podemos ver que $f$ debe ser el cero del polinomio. Es decir, $f$ se desvanece en todas las matrices.

La prueba de funciones continuas es similar, pero implica algunos topología así álgebra: usted tiene que comprobar que cualquier no-vacío abierto subconjunto de $n\times n$ matrices contiene una matriz invertible. Esta es la norma, pero puede no estar claro para usted si usted no está acostumbrado a hacer que los argumentos en la topología o el colector de la teoría.

Añadido: en Realidad, Georges comentario de abajo da una buena prueba de la instrucción en el anterior comentario. El mismo argumento puede encontrarse también en Pete Clark respuesta aquí. (Esta es una respuesta a la cuestión vinculada por Jonas Meyer un comentario anterior).

Answer 2

Una topología de Zariski es una topología particular definido en $\mathbb{R}^n$ (o más en general en el espacio, pero no es importante). Deje $\mathbb{R}[X_1,\dots,X_n]$ ser el anillo de polinomials en $n$ variable. Los conjuntos cerrados de la topología de Zariski de $\mathbb{R}^n$ son de la forma $V(S) = \{a \in \mathbb{R}^n\mid \forall f\in S,\ f(a) = 0\}$ donde $S$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}[X_1,\dots,X_n]$.

El conjunto de las matrices cuadradas de dimensión$n$, como un espacio vectorial, isomorfo a $\mathbb{R}^{n^2}$. Ahora, podemos equipar a $\mathcal{M}(\mathbb{R}, n)$ con la topología de Zariski el uso de este isomorfismo.

El determinat puede ser visto como un polinomio en $n^2$ variables (una por cualquiera de la matriz de entradas) para el conjunto de la no invertible matrices es un conjunto cerrado en la topología de Zariski. Y, obviamente, el conjunto de la invertible matrices son un conjunto abierto.

La topología de Zariski es estudiado mucho por algebraicas aparejador y, a partir de una topológico punto de vista, es una muy mala topología. No es hausdorff, por ejemplo.

De todos modos tiene una extraña característica: es un espacio irreductible. Eso significa que:

1. No hay dos conjunto abierto son distintos
2. el espacio no puede ser escrito como la unión de dos conjuntos cerrados.
3. cada conjunto abierto no vacío es densa
4. el interior de cada conjunto cerrado en vacío