integral de la $\int_{0}^{1}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x+1}dx$ usando el contorno de la integración?

Question

Tengo un interés en el contorno de la integración. No soy buena en esto, pero me gusta aprender lo que pueda acerca de ella.

Aquí es una versión de un racional registro integral que rara vez se encuentra.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln(x^{2}+1)}{x+1}dx=\frac{3}{4}\ln^{2}(2)-\frac{{\pi}^{2}}{48}$

Me puede hacer esto utilizando métodos reales (a través de la integral doble y sustitución). Puedo publicar mis trabajos si alguien estaría interesado.

Mi pregunta es, este puede ser evaluado utilizando el contorno de integración debido a la limitación de $[0,1]$ en lugar de $[0,\infty)$?. Contornos puede no ser la más eficiente manera de ir sobre él, pero ¿qué es el curso de acción cuando los límites son de 0 a 1 en lugar de 0 a infinito?.

Answer 1

Este es mi método favorito:

Considere la posibilidad de un parámetro de $a$ dependiente de la integral:

$$I(a)=\int_{0}^{1}\frac{\ln(ax^{2}+1)}{x+1}dx$$

Después de la diferenciación con respecto a $a$ obtenemos:

$$\frac{dI}{da}=\int_{0}^{1}\frac{x^2dx}{(1+x)(1+ax^2)}=$$

$$=\frac{1}{2}\frac{\ln(1+a)}{a(1+a)}+\frac{\ln 2}{1+a}-\frac{\arctan\sqrt{a}}{\sqrt{a}(1+a)}$$

La integración de $I'(a)$ rendimientos $$I(a)=\ln2\ln(1+a)-\frac{1}{4}\ln^2(1+a)-\arctan^2\sqrt{a}+\frac{1}{2}\int_{1}^{a}\frac{\ln(1+z)}{z}dz+\text{const}$$

Con el fin de encontrar la constante de integración , se nota que $I(0)=0$, lo que implica que

$$\text{const}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+z)}{z}dz=\frac{1}{2}\frac{\pi^2}{12}=\frac{\pi^2}{24}$$

La última integral se puede calcular fácilmente mediante la ampliación de la sesión en serie de Taylor y la integración término a término. Finalmente, el original de la integral de la $I$ rendimientos $I=I(1)$