Número de Múltiplos de $10^{44}$ que dividen $ 10^{55}$

Question

Tengo que encontrar el número de múltiplos de $10^{44}$ que dividen $ 10^{55}$

Múltiplos de $10^{44}$ sería de la forma $n.10^{44}$

Encontrar cómo muchos de los valores de n es posible de modo que: $n. 10^{44}$ divide $10^{55}$

o podemos decir, encontrar los valores de n tal que: $n$ divide $10^{11}$, lo que indica que la respuesta es $12\times12= 144$ .

Por favor, sugiera si la respuesta y el enfoque es correcto.

Answer 1

En realidad, $10^{44}$ $-10^{44}$ brecha $10^{55}$, por lo que depende de si desea que sólo los positivos múltiplos o todos sus múltiplos.

Si $n \cdot 10^{44}$ divide $10^{55}$, esto es equivalente a $\frac{10^{55}}{n \cdot 10^{44}} = \frac{10^{11}}{n}$ ser un número entero, y esto es equivalente a $n$ dividiendo $10^{11}$.

Ahora, se desea calcular el número de factores de $10^{11}$. En general, para cualquier número positivo $a$, se puede escribir en su descomposición en factores primos como $$a = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_t^{k_t}$$ donde el $p_i$'s son todos de primer y distintos, y el $k_i$'s son todos los enteros positivos, entonces el número de factores positivos es $(k_1 + 1)(k_2 + 1) \cdots (k_t + 1)$. Es decir, cualquier factor positivo de $a$ debe ser de la forma $$p_1^{m_1} p_2^{m_2} \cdots p_t^{m_t}$$ donde ahora me va a permitir que el $m_i$'s ser 0 o positivo, sino $m_i \leq k_i$. Y, por la unicidad de la factorización prima, dos opciones distintas de $m_i$'s de llevar a dos factores diferentes y viceversa. Por lo tanto, simplemente tenemos que contar el número de maneras de elegir el $m_i$'s. Claramente, hay $k_i + 1$ opciones para $m_i$, que se $0, 1, 2, \ldots, k_i$. Por lo tanto, tenemos la fórmula anterior. En este caso, tenemos $10^{11} = 2^{11} \cdot 5^{11}$ hay $12 \cdot 12 = 144$ factores positivos como usted dijo. Pero, si usted permite negativo múltiplos así, entonces la respuesta es en realidad 2 veces este, o 288. Es decir, para cada uno positivo múltiples contaba, también hay una negativa correspondiente múltiples.