Probabilidad de que dos matrices aleatorias que cubren la totalidad de la matriz álgebra

Question

Dadas dos matrices a $A$ $B$ al azar en $\mathbb{R}^{n\times n}$, ¿cuál es la probabilidad de que el álgebra de matrices generadas por $A$ $B$ es el total de álgebra matricial $\mathbb{R}^{n\times n}$?

Es decir, si $\mathcal{A}$ es el conjunto de matrices se define por

• $A,B\in \mathcal{A}$ y
• $XY\in \mathcal{A}$ todos los $X,Y\in\mathcal{A}$,

¿cuál es la probabilidad de que $\mathcal{A}$ contiene $n^2$ linealmente independiente de las matrices?

Tengo la intuición de que esto debe ocurrir con probabilidad uno, pero no he podido probarlo. Si que ayuda, el uso del teorema de Burnside creo que esto es equivalente al hecho de que no existen común subespacios invariantes para todas las matrices en $\mathcal{A}$ a excepción de$\{0\}$$\mathbb{R}^n$.

Answer 1

1. Un álgebra $\mathcal{A}$ satisface: $XY,X+Y,\lambda X\in \mathcal{A}$.

2. La Burnside del teorema da una NS condición cuando el campo subyacente $K$ es algebraicamente cerrado. En particular, es falso sobre $\mathbb{R}$. Por lo tanto, si usted estudio real de las matrices, se debe considerar la posibilidad de suyo COMPLEJO común subespacios invariantes.

EDICIÓN 1. Escribí demasiado rápido (porque Lema 2 es válida sólo si $A,B\in M_n(K)$ donde $K$ es un subcampo de la $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Q}(i)$).

Consideramos una distribución discreta de probabilidad sobre $\mathbb{Q}$ s.t., para cada $q\in\mathbb{Q}$, $P(\{q\})>0$.

Aquí $A,B\in M_n(\mathbb{Q})$ $\mathcal{A}$ es el COMPLEJO subalgebra de $M_n(\mathbb{C})$ generado por $A,B$.

Lema 1. Deje $U=[u_{ij}]\in M_n$ cuando la $(u_{ij})$ son los desplazamientos indeterminates y $K=\mathbb{Q}((a_{ij}))$. A continuación,$\chi_U$, el polinomio característico de a $U$, es irreducible sobre$K$$Galois(U)$, su grupo de Galois sobre$K$$S_n$.

Prueba. Deje $P(x)\in\mathbb{Q}[x]$ que tiene el grado $n$ $S_n$ como grupo de Galois (un polinomio existe para cada $n$). Nos especializamos $U$ a $U_0$, de modo que $U_0$ es el compañero de la matriz de $P$. A continuación, $Galois(U_0)$ es un subgrupo de $Galois(U)$ y, en consecuencia, $Galois(U)=S_n$.

Suponga que el $(u_{ij})$ son elegidos al azar en $\mathbb{Z}\cap [-\delta,\delta]$; de acuerdo a las Hilbert irreductibilidad teorema, $Prob(Galois(U)\not= S_n)\approx O(1/\sqrt{\delta})$. Por lo tanto, si el $(u_{ij})$ son elegidos en $\mathbb{Q}$,$Prob(Galois(U)\not= S_n)=0$.

Lema 2. Si $A,B\in M_n(\mathbb{Q})$, $AB\not= BA$ y $Galois(A)=S_n$, $A,B$ admite no común invariante adecuada subespacios $\mathbb{C}$.

Prueba. cf. Teorema 3, en mi artículo (publicado en el lineal y multilineal álgebra): http://arxiv.org/pdf/1206.3630.pdf

Proposición 1. Si $A,B$ son elegidos al azar en $M_n(\mathbb{Q})$,$Prob(\mathcal{A}\not= M_n(\mathbb{C}))=0$.

Prueba. Elija al azar $A$ ($A$ tiene una.s. $n$ distintos autovalores; luego, un.s. $dim(C(A))=n$). Uso Lema 1. (un.s. $Galois(A)=S_n$). Elegir aleatoriamente $B$. A continuación, una.s. $B\notin C(A)$. Uso Lema 2. y del teorema de Burnside.

Observación. Si se utiliza el "RandomMatrix" de arce (por ejemplo) por $U$, $(u_{ij})$ son enteros aleatorios que se entre $-100$ y $100$; $Prob(Galois(U)\not= S_n)$ es muy baja (de hecho, mucho más pequeño que el límite especificado por el Teorema de Hilbert), pero no es $0$.

EDICIÓN 2. Dado que el moderador es infeliz acerca de nuestra discusión, yo les doy la siguiente prueba.

Proposición 2. Suponga que las entradas de $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ son iid variables aleatorias que siguen de la ley normal. A continuación,$Prob(\mathcal{A}\not= M_n(\mathbb{C}))=0$.

Prueba. De acuerdo a la respuesta-comentario de más abajo, que es suficiente para demostrar que: deje $A\in M_n(\mathbb{C})$ se fija con $n$ distintos autovalores. Entonces el conjunto de $B\in M_n(\mathbb{C})$ que tiene distintos valores propios y un vector propio en buen subespacio invariante de Una ha Lebesgue-medida $0$.

Podemos suponer que la $A=diag((a_i))$ en base a la $\mathcal{B}=(e_i)$. A continuación, una adecuada subespacio invariante de $A$ está incluido en $span(\mathcal{B}\setminus e_j)$ algunos $j$. Luego basta probar que $Z=\{B|B\;\text{has }\; n\; \text{eigenvalues and has an eigenvector }\;u\in span(\mathcal{B}\setminus e_n)\}$ es insignificante en $M_n(\mathbb{C})$.

Poner $B=\begin{pmatrix}B_{n-1}&c\\l&b\end{pmatrix},u=[v,0]^T$ donde $v\in \mathbb{R}^{n-1}\setminus 0$. Si $Bu=\lambda u$,$B_{n-1}v=\lambda v$; por lo tanto los polinomios $p(x)=\det(B-xI_n)$ $q(x)=\det(B_{n-1}-xI_{n-1})$ tienen una raíz común, que implica que su resultante $result(p,q)$$0$. Tenga en cuenta que $result(p,q)$ es un polinomio en la $(b_{ij})$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$, $Z\subset \{B|result(p,q)=0\}$ y, en consecuencia, que el $Z$ es Zariski-cerrado. Queda por demostrar que $result(p,q)$ no es idéntica $0$$\mathbb{Q}$. Considere la posibilidad de $B_n=J_n+J_n^T$ donde $J_n$ es el nilpotent Jordania bloque de dimensión $n$. A continuación, $spectrum(B_n)=\{2\cos(\dfrac{j\pi}{n+1}),j=1,\cdots,n\}$ no tiene entradas comunes con $spectrum(B_{n-1})$ $result(p,q)\not=0$ $B_n$

Answer 2

Creo que tengo una prueba... no estoy seguro de que es muy riguroso (especialy para el último párrafo), por lo que cualquier comentario es bienvenido.

Trataré de mostrar que el conjunto de la pareja de matrices que tengan una (no trivial) común subespacio invariante tiene medida de Lebesgue 0. El uso del teorema de Burnside esto es equivalente al hecho de que el conjunto de la pareja de matrices $(A,B)$ para que el álgebra $\mathcal{A}$ tiene dimensión estrictamente menor que $n^2$ tiene medida de Lebesgue 0.

Vamos $\mathcal{S} = \{(A,B)\in \mathbb{C}^{n\times n} \times \mathbb{C}^{n\times n} \ | \ \exists U\subsetneq \mathbb{C}^n, U\not = \{0\} : Au\in U \text{ and } Bu\in U \text{ for all } u \in U\}$.

Dada una matriz $A$, vamos a $\mathcal{S}(A) = \{B \in \mathbb{C}^{n\times n} \ | \ (A,B)\in \mathcal{S}\}$.

Para cualquier conjunto a $X$, vamos a $\mathbb{I}[X]$ denota la función de indicador de la set $X$.

Finalmente, para cualquier entero $k$ deje $\mathcal{M}_k$ apuesta el conjunto de $n\times n$ matrices con la norma de Frobenius menos de $k$. Usaremos las notaciones $\mathcal{S}_k = \mathcal{S}\cap \mathcal{M}_k$$\mathcal{S}(A)_k = \mathcal{S}(A) \cap \mathcal{M}_k$.

Usando el teorema de Fubini para la medida de Lebesgue (que es positivo), tenemos para cualquier entero $k$ $$\int_{(A,B)} \mathbb{I}[\mathcal{S}_k]=\int_{(A,B)\in\mathcal{M}_k\times \mathcal{M}_k}\mathbb{I}[\mathcal{S}] = \int_{A\in\mathcal{M}_k}\int_{B\in\mathcal{M}_k}\mathbb{I}[\mathcal{S}(A)_k] .$$

Por lo tanto, si se demuestra que $ \int_{B\in\mathcal{M}_k}\mathbb{I}[\mathcal{S}(A)_k] = 0$ para cualquier matriz $A\in \mathcal{M}_k$, esto implica que el $\int \mathbb{I}[\mathcal{S}_k]=0$. Utilizando el teorema de convergencia monótona vamos a tener

$$ \int \mathbb{I}[\mathcal{S}] = \int \lim_{k\to \infty} \mathbb{I}[\mathcal{S}_k] = \lim_{k\to\infty} \int \mathbb{I}[\mathcal{S}_k] =\lim_{k\to\infty} 0 = 0$$ por lo tanto mostrando que el conjunto $\mathcal{S}$ tiene medida de Lebesgue 0.

Queda por demostrar que $\mathcal{S}(A)$ tiene medida de Lebesgue 0 para cualquier matriz $A$, lo cual implicará $\int_{B\in\mathcal{M}_k}\mathbb{I}[\mathcal{S}(A)_k] = 0$ para cualquier entero $k$. Deje $A$ ser una matriz y deje $V_1,\cdots,V_p\subsetneq \mathbb{C}^n$ ser su no-trivial subespacios invariantes. Ahora vamos a $B\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Desde el conjunto de la no-diagonalizable matrices tiene medida 0 en $\mathbb{C}^{n\times n}$, suponemos que $B$ es diagonalizable. Entonces, una condición necesaria para $B\in\mathcal{S}(A)$ es que existe un vector propio de a $B$ que se encuentra en una de las $V_i$. Desde $\bigcup_i V_i$ tiene una medida de $0$$\mathbb{C}^{n\times n}$, se deduce que el $\mathcal{S}(A)$ también tiene medida 0.

Queda por demostrar que para un genérico de la matriz $A$, $\mathcal{S}(A)$ tiene medida de Lebesgue 0...

Answer 3

Creo que tengo una prueba de que no dependen del teorema de Burnside. Cualquier comentario es bienvenido.

Teorema. Para cualquier par de matrices de $(A,B)\in \mathbb{C}^{n\times n}\times \mathbb{C}^{n\times n}$, vamos a $P(A,B) = \{A^iB^j : 0\leq i,j <n\}$. Entonces el conjunto $S = \{(A,B) : P(A,B) \text{ is not a basis of } \mathbb{C}^{n\times n}\}$ tiene medida de Lebesgue cero en $\mathbb{C}^{n\times n}\times \mathbb{C}^{n\times n}$.

Prueba. Para cualquier par de matrices de $(A,B)$ deje $M(A,B) \in \mathbb{C}^{n^2\times n^2}$ ser la matriz cuyas columnas son los vectorizations de $A^iB^j$$0\leq i,j<n$. A continuación, $(A,B)\in S$ si y sólo si $det(M(A,B)) = 0$. Desde $det(M(A,B))$ es un polinomio en la coefficents de $A$ y $B$, $S$ es una subvariedad algebraica de $(\mathbb{C}^{n\times n})^2$. Vamos a demostrar que el polinomio $det(M(A,B))$ no $0$. Deje $U$ ser el superior de $n\times n$ cambio de la matriz, pretendemos que $det(M(U,U^\top))\not = 0$, lo que equivale a $P(U,U^\top)$ siendo una base de $\mathbb{C}^{n\times n}$. Deje $(E_{ij})_{1\leq i,j \leq n}$ ser la base canónica de $\mathbb{C}^{n\times n}$, uno puede comprobar que $E_{ij} = U^{n-i}(U^\top)^{n-j}- U^{n-i+1}(U^\top)^{n-j+1}$ todos los $1\leq i,j\leq n$ (tenga en cuenta que $U^{n-i+1}(U^\top)^{n-j+1}$ es de $P(U,U^\top)$ o igual a $0$). En conclusión, $S$ es una subvariedad algebraica de $(\mathbb{C}^{n\times n})^2$, por lo tanto de la medida de Lebesgue cero.