(He reescrito esta pregunta, esperamos que sea más claro ahora. Es la misma pregunta, pero me reordenar sus partes.)
Let' S una superficie (posiblemente no compacta, pero no hay límite). Parece que hay tres diferentes teoremas que la gente a veces llama "el Teorema de Uniformización":
Hay algunas constantes de la curvatura de la métrica en S.
-
Dado cualquier conformación de la estructura en S, no es una constante-curvatura completa métrica en la S que la representa. Más precisamente,
Dado cualquier métrica g en S, no es un (único) completar métrica g0 de curvatura constante que representa la misma conformación de la estructura, es decir no es estrictamente una función positiva $f\in C^\infty (S)$ tal que g'=fg.
Hasta diffeomorphism, sólo hay una conformación de la estructura de la esfera, y dos en un topológico de disco (es decir, el disco con el estándar métrica hiperbólica o el plano con la métrica Euclidiana).
El primero de estos es fácil, ver la prueba a continuación. También es fácil ver que 3 implica 2, vea más abajo.
De ahora en adelante, el "Teorema de Uniformización" significa el número 3. Es muy potente, pero también algo de misterioso. Sus pruebas son bastante complicado y por lo general involucran la solución de una forma un tanto complicada ecuación diferencial, aquí es un debate muy interesante acerca de eso.
Siento que el 2, por otro lado, debería ser más sencillo, y no requiere el pleno poder de uniformización para demostrarlo. Yo también creo que es muy distinta en el espíritu de 3, y así tener una diferente de la prueba, que podría ser esclarecedor. Por lo tanto, mis preguntas básicas son:
- ¿Hay algún buen pruebas de 2. que no use 3.?
- Es allí cualquier manera de probar 3. de 2.? (esto implicaría que la respuesta a la pregunta anterior es no. Esto es ciertamente posible, a menos que nos quite el trabajo "único" de la declaración de 2., así que voy a hacer)
(Sería bueno si la prueba trabajado para los no-compacto de las superficies, es decir, con cúspides o embudos. Entonces, sin embargo, podría ser difícil para hacer la métrica completa - o tal vez hay algún truco para hacer cualquier constante de la curvatura de la métrica completa?)
Lo que sigue son las prometido pruebas junto con algunas vagas ideas sobre cómo probar la número 2 uso de ellos o de otra manera. Idealmente, sería bueno tener dos pruebas, una para el flujo de Ricci, y otro con algo así como la prueba del teorema 1. También, tal vez hay otros/mejor enfoques?
La prueba del teorema 1. por encima de (utilizados para la Prueba #2, lo siento)
He aquí una prueba de que sólo las construcciones de algunas constantes de la curvatura de la métrica en cualquier superficie compacta. Básicamente, esto viene de Thurston del libro, y probablemente podría ser adaptado a las superficies con límite, aunque no sería trivial.
Es decir, un género-g de la superficie puede ser pensado como un regular 4g-gon con lados pegados en la manera apropiada. (Si g=0, es ya una esfera, por lo que ignoramos este caso). Por ejemplo, un toro es un cuadrado con lados opuestos pegado. Así, se puede embaldosar el plano con plazas, mediante la toma de una plaza y la traducción de alrededor de modo que las nuevas plazas son adyacentes a los antiguos. Nos damos cuenta de que estas traducciones no cambie el nivel métrico, y a la conclusión de que el avión en el modulo $\mathbb Z^2$ acción por parte de las traducciones es un toro con una constante de la curvatura de la métrica.
Del mismo modo, si $g>1$, podemos presentar un regular 4g-gon en el plano hiperbólico. Mediante la variación de su tamaño, podemos hacer que los ángulos en los vértices tan pequeño como se quiera (si es pequeña, los ángulos serán casi tan grande como lo sería para un Euclidiana regular 4g-gon. Si es tan enorme que los vértices están casi en la línea en el infinito, los ángulos será casi cero. Así, se puede obtener cualquier valor intermedio). Si hacemos estos ángulos precisos $\frac{2\pi}{4g}$, a continuación, la traducción de la 4g-ágonos alrededor al igual que hemos traducido plazas antes de que nos dará un mosaico del plano hiperbólico. Al igual que antes, quotienting el plano hiperbólico por el caso del grupo nos dará nuestra superficie con una constante de la curvatura de la métrica.
Nota que podemos obtener muchos otros conformación de estructuras en nuestra superficie por la sustitución de nuestro regulares *4g*-gon con una irregular de uno (se puede elegir cualquier longitud de cada lado, creo que, mientras los lados de pegamento tienen la misma longitud). Sin embargo, no está claro que podríamos llegar a cualquier conformación de la estructura de esta manera. Así que, esta es también una vaga aproximación a probar el número 2.
La prueba de la idea de número 2: Ricci flujo (utilizado para ser a Prueba de idea #1)
Parece que podríamos intentar aplicar algo así como el flujo de Ricci para la métrica g en S para hacer su curvatura uniforme. No sé lo suficiente análisis para completar los detalles; me pregunto si es posible crear un flujo para que no se modifica la conformación de la estructura. También, conseguir una completa métrica puede ser difícil.
(Muchas personas respondieron que esto es posible. En particular, Dmitri respuesta bastante asentado para mí esta parte de la pregunta. Solo una pequeña pregunta sigue siendo: ¿estos flujos de trabajo para los no-compacto superficies y resultar en una completa métrica? Además, no es muy claro para mí si la pruebas con los flujos son lo suficientemente potente como para mostrar #3. Mi conjetura sería que no, pero Hamilton papel parece a la afirmación de que el flujo de Ricci es la prueba.)
Apéndice: la Prueba de la 2. de Uniformización (#3.) (Solía ser a Prueba de #0)
Considere la posibilidad de la universalización de la cobertura $U=\tilde S$ de S con la métrica g retiró S. Por uniformización, hay un mapa de conformación $f: (U,g) \to (X,g_{standard})$ donde $(X,g_{standard})$ es uno de los tres: el disco de Poincaré con el estándar métrica hiperbólica, en el avión, con la métrica Euclidiana, o de la esfera con el estándar esférica métrica. En cualquier caso, es una norma en el espacio con una constante de la curvatura de la métrica.
Como Tom comentario señaló, al menos en el caso hiperbólico, todos conformación de mapas en el disco preservar la constante de la curvatura de la métrica (que vamos a enumerar cuáles son todos ellos). Desde la cubierta transformaciones convertido conformación de mapas en X, para preservar la métrica. Así, podemos tirar de $g_{standard}$$U$, y luego hacia abajo a $S$ conseguir $g_0$. La no-hiperbólica de los casos, también puede ser tratado.
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