- Sí, hay una secuencia espectral para la que los grupos en el $E^1$ -son la homología singular de $D(i)$ para variar $i \in I$ que converge a la homología singular de $X$ . Esta secuencia espectral surge de la filtración esquelética $X_n$ del colímite de homotopía $X$ : esencialmente, $X_n$ es la parte de los hocolim que proviene de $k$ -tuplas de flechas en $I$ para $k \leq n$ .
Recorramos un poco más la construcción, utilizando la gradación habitual para una secuencia espectral de un complejo filtrado. Supongamos que todos nuestros espacios no tienen base. Recordemos que un espacio filtrado $$ X_0 \rightarrow X_1 \rightarrow \ldots \rightarrow X $$ da una pareja exacta $$ D^1_{p,q} = H_{p+q}(X_p) $$ $$ E^1_{p,q} = H_{p+q}(X_p,X_{p-1})$$ y que $E^1_{p,q}$ dar a los grupos en el $E^1$ -página. Por escisión esta es la homología del cociente $$ H_{p+q}(X_p/X_{p-1}) $$ y si se examina la construcción de los hocolim se ve que este cociente es homeomorfo a $$ \left(\coprod_{i_0 \rightarrow \ldots \rightarrow i_p} D(i_0) \times \Delta^p \right) / \left(\coprod_{i_0 \rightarrow \ldots \rightarrow i_p} D(i_0) \times \partial\Delta^p \right) \cong \bigvee_{i_0 \rightarrow \ldots \rightarrow i_p} \ \Sigma^p (D(i_0)_+) $$ Por lo tanto, podemos reescribir $E^1$ -página $$ E^1_{p,q} \cong \bigoplus_{i_0 \rightarrow \ldots \rightarrow i_p} H_q(D(i_0)) $$ que es cero siempre que $q < 0$ . Por lo tanto, nuestro $E^1$ -¡la página se concentra en el primer cuadrante! Las diferenciales tienen la misma graduación que en la sucesión espectral de Serre. Se puede comprobar que esto satisface las condiciones de convergencia que se encuentran, por ejemplo, en Mosher & Tangora p.66, por lo que la sucesión espectral tiene un valor de $E^\infty$ página que da la filtración de $H_{p+q}(X)$ por las imágenes de los grupos $H_{p+q}(X_p)$ .
Por último, los diferenciales del $E^1$ -página son la suma alternada de los mapas de caras $$ \bigoplus_{i_0 \rightarrow \ldots \rightarrow i_p} H_q(D(i_0)) \overset{d_j}\rightarrow \bigoplus_{i_0 \rightarrow \ldots \rightarrow i_p} H_q(D(i_0)) $$ donde $d_j$ suprime el término $i_j$ en el $p$ -tupla de flechas y compone las flechas que pasan por $i_j$ sin hacer nada para $D(i_0)$ . A menos que $j = p$ en cuyo caso borra $i_p$ o $j = 0$ en cuyo caso borra $i_0$ y aplica la flecha $i_0 \rightarrow i_1$ a $D(i_0)$ para aterrizar en $D(i_1)$ .
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Esto también funciona para las teorías de homología extraordinaria, excepto para la convergencia. Si su teoría extraordinaria es conectiva (es decir $H_{n}(*) = 0$ cuando $n$ es negativo), entonces no deberías tener problemas.
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Esto también se puede utilizar en la cohomología, y todo está bien, excepto que su $E_\infty$ da una filtración de $\mathbf{lim}_p H^*(X_p)$ que no es necesariamente lo mismo que $H^*(X)$ . En general se diferencian por un $\lim^1$ plazo.
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Lo que hizo que esta secuencia espectral se convirtiera en una secuencia exacta larga es que la homología/cohomología lleva una secuencia de cofibras a una secuencia exacta larga. Cuando se pasa de un hocolim a un holim, ahora interesa llevar secuencias de fibras a secuencias exactas largas de grupos. La homología y la cohomología no hacen esto, pero los grupos de homotopía sí. Entonces, hay otra secuencia espectral cuya $E^1$ -página es grupos de homotopía de los espacios en su diagrama, que en buenas condiciones converge a los grupos de homotopía de la holim. De nuevo, una de las cosas que las "buenas condiciones" excluyen es que también puedas tener $\lim^1$ s aparecen aquí.
