(∞, 1)-Descripción categorial de la teoría de homotopía equivariante

Question

Estoy tratando de aprender un poco acerca de equivariant homotopy teoría. Sea G ser un compacto de Lie del grupo. Supongo que hay un cofibrantly modelo generado categoría cuyos objetos son (de forma compacta generado débil Hausdorff o lo que sea) espacios topológicos con G-acción y cuyos morfismos son G-maps, en el que la generación de cofibrations son mapas de la forma G/H x S^n-1 → G/H x Dⁿ (n ≥ 0, H un subconjunto cerrado de G) y la generación de acíclicos cofibrations son evidentes análoga cosa. Al parecer, la débil equivalencias en esta categoría son aquellos mapas que inducen a los débiles equivalencia en H-puntos fijos para cada cerrado subgrupo H de G. supongo que el correspondiente (∞,1)-categoría está presentable. (Mi preliminar pregunta es, ¿alguien sabe una buena fuente de este párrafo?)

Mi verdadera pregunta es: ¿Puede dar un (∞,1)-descripción categórica de esta categoría, decir a través de un universal de los bienes, o construido de alguna manera de la categoría de espacios? Por ejemplo, ¿qué es una presentación explícita como la localización de una categoría de presheaves de espacios? (Un ejemplo del tipo de respuesta que estoy buscando es "functors de BG a los Espacios", sino que describe un modelo de la categoría de G-espacios cuyos débiles equivalencias son simplemente débil de equivalencias de los subyacentes de los espacios.)

(Mi siguiente pregunta sería pedir un análogo de la descripción de la equivariant estable homotopy categoría. Me imagino que esto sería fácil si yo sabía cómo responder a la primera pregunta, pero si ocurre algo especial en la situación estable, me gustaría saber acerca de ella).

Answer 1

Creo que es una buena referencia para el primer párrafo es "Equivariant Homotopy y Cohomology Teoría" por Pedro Mayo, y un montón de otras personas. El capítulo 5 incluye "Elmendorf del teorema" que este homotopy teoría de G-espacios es equivalente a la homotopy teoría de los diagramas de espacios en la órbita de la categoría O(G) de G. En el último homotopy teoría, la debilidad de las equivalencias son "levelwise" como es habitual en la homotopy teoría de los diagramas.

No estoy tan seguro acerca de la (∞,1) categoría versiones, pero yo esperaría que el (∞,1)-categoría asociada a un levelwise modelo de la estructura de O(G)-diagramas será esencialmente el (∞,1)-categoría de functors de O(G) a la (∞,1)-categoría de los espacios. Que debe implicar que es localmente presentable así.

Uno podría pensar que la equivariant estable homotopy categoría sería la de "estabilización" de este (∞,1)-categoría, pero eso no es del todo obvio para mí. El punto en cuestión es que hay dos tipos de G-espectros: "ingenuo" G-espectros, que son indizadas en enteros, y "verdadero" G-espectros, que están indizadas en G-representaciones. Parece posible para mí que el estándar de "estabilización" proceso de un (∞,1)-categoría sólo estabilizar con respecto a los enteros.

Answer 2

He estado tratando de abstengo de responder a esta pregunta, porque no estoy completamente seguro de que mi opinión sobre esto es preciso. A mí me parece un G-espectro debe ser un espectro con una acción de G sobre ella, que se detenga por completo. Obviamente, usted tiene que especificar su noción de espectro, y obviamente, si usted desea incluir topológicos, grupos G es mejor que ser un monoidal simétrica categoría de espectros que se enriqueció a lo largo de espacios topológicos. Así que usted podría tomar el S-módulos de EKMM u ortogonales espectros (mi favorito personal) o simétrica espectros basado en espacios topológicos. Con cualquiera de estas categorías, existe una noción de un G-espectro, por que me refiero a un espectro con una acción de G.

Puedo oír que usted objetando-usted tiene que ser demasiado ingenuo--¿qué acerca completo G-universos? Me tome el punto de vista de que la recolección de un universo corresponde a escoger un modelo de estructura en el único Dios-dada la categoría de la G-espectros. Recogiendo un pequeño universo en medio de la localización de la estructura del modelo. Así que el universo es el "inicial" de uno, y en cada universo es una localización de todo el universo. El ingenuo universo es el "terminal", en el sentido de que es una localización de cada otro universo. Hay un montón de universos correspondientes a las estructuras del modelo entre estos.

No recuerdo cómo estas estructuras de modelos se supone que debe ir, pero creo que ambos, Neil Strickland y Tony Elmendorf han separado escrito algo acerca de este enfoque. Tony podría ser parte de un conjunto de papel, no puedo recordar. Yo creo que simplemente es una forma diferente de ver las cosas, pero va tan en contra de el punto de vista predominante de que no ha recibido mucho de tracción.

De nuevo, tengo que confesar que estoy trabajando desde la memoria de algo que probablemente no entienda completamente. Posiblemente Mike Shulman o alguien más va a ser capaz de convencerme de que estoy completamente equivocado.

Answer 3

Deje que C sea la categoría homogénea G-colectores; el hom conjuntos naturales de la topología de forma que se puede considerar C como una infinidad de categoría. El equivariant homotopy categoría es la categoría de contravariante functors desde C hasta el infinito de la categoría de los espacios. Usted construir un functor de un honesto G-espacio mediante la restricción de Hom_G(-,X) a C.

Creo que esta respuesta es algo decepcionante: se dice que todos los que la topología algebraica puede ver en un G-espacio son el punto fijo se establece con respecto a los subgrupos. ¿Cuáles son los teoremas a lo largo de estas líneas que justifican esta definición?

De acuerdo a la discusión a continuación, la respuesta es Whitehead del teorema: cualquier débiles G-homotopy equivalencia entre tame suficiente G-espacios-al menos, todos los G-CW complejos (Whitehead) y todo liso G-colectores (Illman)--es un fuerte G-homotopy de equivalencia. "Débil" significa que el mapa induce un isomorfismo en homotopy grupos de todos los fijos de punto conjuntos, y "fuerte" significa que hay un equivariant mapa hacia atrás de modo que las composiciones son equivariantly homotópica a los mapas de identidad.

Answer 4

Yo diría que

a) cohomology en cualquier caso, es algo definido en algunos (o,1)-topos (tal vez secretamente así, pero aún así), los detalles y enlaces adicionales en este punto de vista están en nLab:cohomology

b) desde ese punto de vista general hay una definición general de equivariant cohomology, como se indica en nLab:equivariant cohomology

Más precisamente, esto es (la generalización de) Borel equivariant cohomology . Véase el comentario en Una Encuesta de Elíptica Cohomology: equivariant cohomology - Borel equivariant cohomology.