Cálculo integral

Question

Tengo una función de densidad espectral de potencia de la forma $$S(\omega) = \frac{a}{(\omega^2-K^2)^2 + K^2 h^2 \omega^2},$$ en el que $a, K, h$ son algunas constantes positivas. Quiero calcular la correspondiente función de correlación espacial que se define como sigue: $$R(x) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\omega x) \omega \, d\omega}{(\omega^2-K^2)^2 + K^2 h^2 \omega^2}.$$

¿Alguien tiene idea de cómo calcular esta integral?

Gracias de antemano.

Answer 1

Utilizaría el teorema del residuo en una integral relacionada, cuyos resultados diferenciaría para obtener la integral deseada. A saber, consideremos

$$\oint_C dz \frac{e^{i x z}}{(z^2-K^2)^2+K^2 h^2 z^2} $$

donde $C$ es un semicírculo de radio $R$ en el medio plano superior cuando $x \gt 0$ . El denominador puede simplificarse un poco ampliando y recogiendo las potencias de $z$ :

$$z^4 - (2-h^2)K^2z^2 + K^4$$

Nos interesará conocer las raíces de este cuarteto:

$$z^2 =\left ( 1-\frac12 h^2\right ) K^2 \pm i h K^2\sqrt{1-\frac14 h^2}$$

Al no conocer ninguna restricción en $h$ Por ahora asumiré que el término dentro de la raíz cuadrada es positivo. En este caso, las raíces del cuadrado se encuentran en un círculo de radio $K$ centrado en el origen. Centrémonos sólo en los dos ceros del semiplano superior:

$$z_{\pm} = \pm K \, e^{\pm i \frac12 \arctan{\left (\frac{h \sqrt{1-h^2/4}}{1-h^2/2} \right )}} = \pm K e^{\pm i \arcsin{h/2}}$$

Debido a que la integral desaparece alrededor del arco circular como $R\to\infty$ tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{e^{i \omega x}}{(\omega^2-K^2)^2+K^2 h^2 \omega^2} = i 2 \pi \sum_{\pm} \operatorname*{Res}_{z=z_{\pm}} \frac{e^{i x z}}{(z^2-K^2)^2+K^2 h^2 z^2}$$

Como los polos son simples, el cálculo de los residuos es relativamente sencillo. Por ejemplo,

$$ \operatorname*{Res}_{z=z_{+}} \frac{e^{i x z}}{(z^2-K^2)^2+K^2 h^2 z^2} = \frac{e^{i k x \sqrt{1-h^2/4}} e^{-k h x/2}}{4 K^3 e^{i \arcsin{h/2}} \left [e^{i 2 \arcsin{h/2}}-(1-h^2/2) \right ]} $$

$$ \operatorname*{Res}_{z=z_{-}} \frac{e^{i x z}}{(z^2-K^2)^2+K^2 h^2 z^2} = -\frac{e^{-i k x \sqrt{1-h^2/4}} e^{-k h x/2}}{4 K^3 e^{-i \arcsin{h/2}} \left [e^{-i 2 \arcsin{h/2}}-(1-h^2/2) \right ]} $$

En este punto, el álgebra se vuelve un poco difícil, pero es factible. Sin embargo, lo dejaré así.

Una vez hecho esto, hay que tener en cuenta que se ha computado

$$2 \int_0^{\infty} d\omega \frac{\cos{\omega x}}{(z^2-K^2)^2+K^2 h^2 z^2}$$

Para obtener la integral deseada, hay que tomar la derivada negativa con respecto a $x$ .

Entonces considerarías el caso $x \lt 0$ y utilizar un contorno en el plano medio inferior, siguiendo todos los pasos anteriores.

Answer 2

(Demasiado largo para comentarlo. No es una solución, pero probablemente sea un primer paso útil para desarrollar una solución).

Como dfeuer señaló en su comentario, esta integral parece ser resoluble en principio, pero el intento de WolframAlpha en una presentación es un feo SOB. Siempre es una buena idea limpiar las integrales de este tipo tanto como sea posible de antemano. Lo primero que haría es transformar nuestra integral de tres parámetros $R(x;K,h) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\omega x) \omega \, d\omega}{(\omega^2-K^2)^2 + K^2 h^2 \omega^2}$ utilizando la sustitución $\omega=K\omega'$ con el fin de reducir el problema a una integral equivalente de dos parámetros \begin{align*}R\left(x;K,h\right) &= \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\omega x) \omega \, d\omega}{(\omega^2-K^2)^2 + K^2 h^2 \omega^2}\\ &= \frac{1}{K^2}\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\omega' Kx) \omega' \, d\omega'}{(\omega'^2-1)^2 + h^2 \omega'^2}\\ &= \frac{1}{K^2} R\left(p;1,h\right), \end{align*} donde he introducido el parámetro $p:=Kx$ .

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Ahora podemos prestar atención a la integral más sencilla $$R(x;h) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(\omega x) \omega \,d\omega}{(\omega^2-1)^2 + h^2 \omega^2}.$$

Un caso especial: $R(x;\sqrt{2}) = \frac{\pi}2 e^{-\frac{x}{\sqrt{2}}}\sin{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}$ .

Answer 3

Gracias a Ron Gordon, hice las manipulaciones algebraicas y el resultado final es el siguiente:

$R(x) = \int_0^{\infty} \frac{\omega sin(\omega x) d \omega}{ (\omega^2 - K^2)^2 + K^2 h^2 \omega^2} = \frac{\pi}{2K^2h\sqrt{1-h^2/4}} e^{-Kxh/2} sin(kx\sqrt{1-h^2/4})$

Para el caso especial en el que $h = \sqrt{2}$ La solución es exactamente la que propone David H.

Gracias de nuevo,