Derivados de Gauss-Bonnet Gravedad (O simplemente de orden superior correcciones)

Question

He estado trabajando durante algún tiempo en la derivación de las ecuaciones de movimiento (MOE) para el de Gauss-Bonnet-de la Gravedad, la cual está dada por la acción:

$$\int d^D x \sqrt{|g|} (R^2-4R_{ab}R^{ab}+R_{abcd}R^{abcd}).$$

He intentado durante algún tiempo para obtener el primer lugar-fin de variación con respecto al $\delta g_{ab}$. Siempre he sido atrapado con la derivación de la $\delta (R_{ab}R^{ab})$ componente. Supongamos que tengo sólo un tensor de Riemann que contiene sólo las constantes, \begin{align*} \delta(R_{ab}R^{ab}) & = (\delta R_{ab})R^{ab} + (\delta R^{ab})R_{ab} \\ & = (\delta R_{ab})R^{ab}+ \delta(R_{ecfd}g^{ac}g^{bd})g^{ef}R_{ab} \\ & = (\delta R_{ab})R^{ab}+ (\delta R_{ecfd})g^{ac}g^{bd}g^{ef}R_{ab} + (\delta g^{ac}) R_{cd}g^{bd}R_{ab}+(\delta g^{bd})R^{a}{}_{d}R_{ab}\\&\quad+ (\delta g^{ef}) R_{e}{}^{a}{}_{f}{}^{b}R_{ab}. \end{align*}

Esto, sin embargo, nos da: \begin{align*} & = - (\delta g^{hi}) R_{ichd}R^{cd} +( \delta g^{hi}) R_{hcid}R^{cd} + 2(\delta g^{ac}) R_{cd}R_{a}{}^{d} \\ & = 2(\delta g^{ac}) R_{cd}R_{a}{}^{d}. \end{align*}

La respuesta correcta tal y como la conocemos, es $2R^{ab}R_{acbd}\delta g^{cd}$.

Answer 1

Usted puede obtener la deseada expresión de la siguiente manera:

\begin{align}\delta(R_{ab}R^{ab}) &=\delta R_{ab} R^{ab}+R_{ab}\delta R^{ab}\\ &=\delta R_{ab}R^{ab}+R_{ab}\delta R_{cd}g^{ca}g^{db}\\ &=\delta R_{ab}R^{ab}+R^{cd}\delta R_{cd}\\ &=2R^{ab}\delta R_{ab}\\ &=2R^{ab}\delta(R_{cadb}g^{cd})\\ &=2R^{ab}\delta(R_{acbd}g^{cd})\qquad\mbox{(by symmetry of the Riemann tensor)}\\ &=2R^{ab}\delta R_{acbd}g^{cd}+2R^{ab}R_{acbd}\delta g^{cd}. \end{align} En la última línea, la variación del tensor de Riemann se desvanece debido a la suposición de que es constante, lo que nos deja con

$$\delta(R_{ab}R^{ab})=2R^{ab}R_{acbd}\delta g^{cd}.$$

Answer 2

La manera de resolver esto es la siguiente. En primer lugar, no se puede asumir que el tensor de Riemann es una constante:

\begin{align*} \delta(R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}) & = [-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta} + 2 R_{\mu}{}^{\alpha}R_{\nu\alpha} + \square R_{\mu\nu} -\nabla_{\alpha}\nabla_{\mu}R_{\nu}{}^\alpha - \nabla_{\alpha}\nabla_{\nu}R_{\mu}{}^\alpha + g_{\mu\nu} \nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}R^{\alpha\beta}]\delta g^{\mu\nu} \\ & = [-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta} + 2 R_{\mu}{}^{\alpha}R_{\nu\alpha}-((\nabla_{\mu}\nabla_{\alpha}+ \square R_{\mu\nu} -[\nabla_\mu,\nabla_\alpha])R_{\nu}{}^\alpha \\&\quad+(\nabla_{\nu}\nabla_{\alpha}-[\nabla_\nu,\nabla_\alpha])R_{\mu}{}^\alpha) + g_{\mu\nu} \nabla_{\alpha}\nabla_{\beta}R^{\alpha\beta}]\delta g^{\mu\nu}\\ & = [-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta} + 2 R_{\mu}{}^{\alpha}R_{\nu\alpha}+ \square R_{\mu\nu} \\&\quad-\nabla_\mu\nabla_\nu R + [\nabla_\mu,\nabla_\alpha]R_{\nu}{}^\alpha + [\nabla_\nu,\nabla_\alpha]R_{\mu}{}^\alpha + \frac{1}{2}g_{\mu\nu} \square R]\delta g^{\mu\nu}\\ & = [-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta} + 2 R_{\mu}{}^{\alpha}R_{\nu\alpha}+ \square R_{\mu\nu} -\nabla_\mu\nabla_\nu R +2(-R_{\alpha \nu}R^{\alpha}{}_\mu \\& \quad+ R^{\alpha\beta}R_{\mu\alpha\nu\beta})+ \frac{1}{2}g_{\mu\nu} \square R]\delta g^{\mu\nu} \\ & = [-\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta} -\nabla_\mu\nabla_\nu R + \square R_{\mu\nu} +2R^{\alpha\beta}R_{\mu\alpha\nu\beta}+ \frac{1}{2}g_{\mu\nu} \square R]\delta g^{\mu\nu}. \end{align*}

Dejar caer los términos constantes, llegamos a $ -\frac{1}{2} g_{\mu\nu}R_{\alpha\beta}R^{\alpha\beta}+2R^{\alpha\beta}R_{\mu\alpha\nu\beta}$, incluyendo el término de la variación de $\sqrt{|g|}$. El problema con la solución anterior es en la transición de la segunda a la tercera línea, ya que uno todavía tiene que variar la métrica, y uno debe variar todo lo primero sin asumir constantes, ya que el colector de la covariante derivados no conmutan. Creo que el problema surge porque, incluso si el tensor de Riemann es una constante, la métrica que viene con no necesariamente (por ejemplo,$S^2$) que es constante, por eso no podemos decir $\delta R_{abcd} = 0$, y tenemos que comprobar que las partes del mismo.