Demostrar la irracionalidad del número de $\cos\frac\pi9$

Question

La pregunta es si existe una manera estándar de prueba de que $$ \cos{ π \over 9}$$ es un número irracional.

Answer 1

Sugerencia: Utilice $\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}=4\cos^3\frac{\pi}{9}-3\cos\frac{\pi}{9}$, luego de demostrar que $4x^3-3x=\frac{1}{2}$ no tiene raíces racionales

Answer 2

Observar que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \dfrac{1}{2}$. Por lo tanto el uso de la identidad: $\cos (3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x$, $\cos(\frac{\pi}{9})$ es un cero de la ecuación: $4x^3 - 3x = \dfrac{1}{2}$,y el uso de la irracionalidad de la raíz de la prueba, uno llega a la conclusión de que esta ecuación no tiene racional de la raíz, por lo tanto $\cos(\frac{\pi}{9})$ debe ser irracional.

Answer 3

Utilizando identidades trigonométricas, o plug-and-la simplificación de $\frac{1}{2} (e^{\pi i/9}+e^{-\pi i /9})$, podemos comprobar que $\cos\frac{\pi}{9}$ es una raíz de $f(x)=8x^3-6x-1$. Por el Racional Teorema de la Raíz, la única posibilidad racional de las raíces de este polinomio son $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{8}$, y ninguno de estos ocho son correctos.