Generalmente hay dos aceptado enfoques:
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Usted puede utilizar un poco de aritmética teoría, por ejemplo,$\sf PA$, o incluso un fragmento que es suficiente para desarrollar la lógica de primer orden y sintáctica de la manipulación de pruebas. A continuación, se puede definir el lenguaje de la teoría de conjuntos, escribir los axiomas y de las pruebas y así sucesivamente. De hecho, $\rm Con(\sf ZFC)$ es de hecho una declaración acerca de los números naturales en lugar de una declaración sobre conjuntos y modelos.
Esto es cierto incluso si uno quiere introducir forzar. Y me encontré en una reciente tesis de maestría en el que esta (generalmente de folclore, creo?) el resultado se da en los detalles.
Puede utilizar $\sf ZFC$ sí. Entonces usted tiene alguna universo de la teoría de conjuntos (usualmente $\sf ZFC+\rm Con(\sf ZFC)$ e incluso más), pero que en realidad están funcionando dentro de un modelo de la teoría de conjuntos dentro de ese universo. En el caso de que usted es libre de utilizar todo tipo de diversión modelo de las herramientas teóricas, y forzar que se realiza de forma directa y así sucesivamente.
Sin embargo, en muchos casos, no en el hecho de omitir la meta de la teoría, y sólo nos importa es suficiente para desarrollar la lógica de primer orden. A menudo trabajamos en el universo. Así que no hay ningún modelo real de la teoría de conjuntos, que hay un universo y podemos trabajar con eso. Podemos hacer obligando a usar el universo, ya que podemos definir Boolean valores y modelos de demostrar la independencia de sus resultados con que, y así sucesivamente.
Permítanme citar un Tel. D. tesis escritas por VanLiere,
Puesto que todas estas preguntas tienen que ver con los de primer orden provability, podríamos tomar como nuestro metatheory algunos muy débil de la teoría (como la aritmética de Peano), que es suficiente para la formalización de la lógica de primer orden. Sin embargo, como es habitual en los tratados acerca de la teoría de conjuntos, tomamos como nuestro metatheory $\sf ZF$ más el Axioma de elección con el fin de tener a nuestra disposición la infinitary herramientas de modelo de la teoría. También vamos a utilizar locuciones tales como ... que sólo son realmente justificable en algunos incluso más fuerte metatheory con el entendimiento de que ellos podrían ser eliminadas mediante el uso de Boolean valores de los modelos o algún otro dispositivo.
Esto resume bastante bien, creo, el enfoque utilitario de la teoría de conjuntos. En realidad sólo necesita un débil teoría suficiente para la lógica de primer orden, pero es más fácil y más agradable trabajar con mucho más fuerte metatheories porque hacen nuestra vida mucho más fácil.
Acerca de la segunda parte, a menudo damos el universo tiene la misma enteros como el metatheory. Esto tiene serias implicaciones, por ejemplo, la validez de $\rm Con(\sf ZFC)$ es heredado de la meta-teoría. Este no es siempre el caso, y a veces vale la pena mirar no estándar de los modelos, o incluso los modelos que no están de acuerdo en los números enteros con el universo o con el metatheory.
Sin embargo siempre que aparece el término "modelo transitivo", a continuación, inmediatamente sabemos que el modelo y el universo están de acuerdo en los números enteros, que tiene fuertes implicaciones sobre la verdad de los valores de algunas de las declaraciones en el modelo. Esta es la razón por la que discutir sobre transitiva modelo no es suficiente para invocar el teorema de completitud y han provability; pero es suficiente para establecer la independencia.
Esto es de nuevo un utilitario punto. Transitiva modelos están muy bien, y tienen muy agradable propiedades que se heredan desde el universo. Cuando estamos interesados en la independencia, a continuación, trabajar con modelos transitivos es generalmente suficiente. Así lo hacemos, porque somos utilitaristas.
Probablemente debería añadir otra cosa sobre el utilitarismo aquí. Por supuesto uno puede hacer todo tipo de locos supuestos "porque iban a hacer la vida más fácil", pero filosóficamente uno está de acuerdo en que la consistencia de $\sf ZFC$ es cierto si uno está interesado en investigar $\sf ZFC$, y sus consecuencias, y por eso es razonable para agregar esta hipótesis a tu lista de axiomas en el metatheory, y aún más. Incluso si usted termina trabajando sólo con $\sf ZFC$ sí.
Como dice la cita de puntos, algunos de los supuestos que utilizamos a menudo sólo puede ser justificado por mucho más fuerte teorías, sino que son "filosóficamente sonido" (es decir, trabajando con $\sf ZFC+\lnot\rm Con(\sf ZFC)$ como metatheory para la investigación de $\sf ZFC$ es realmente raro), y podemos eliminar estos extraños hipótesis mediante el uso de un poco más complicado de los dispositivos de todos modos.
