Supongamos que me dan un número complejo: ¿puedo encontrar un polinomio cuyas raíces se incluyen?
Como se señaló, la respuesta es trivial para los coeficientes complejos: si quieres un polinomio con el root$w$, $P(z) = z-w$ va a hacer. ¿Qué acerca de un polinomio con coeficientes reales? No demasiado, es relativamente sencillo; el polinomio $P(x) = (x-w)(x-\bar{w}) = x^2-2\mathcal{R}(w)x+\left|w\right|^2$ tiene coeficientes reales y sus raíces se $w$$\bar{w}$.
Lo que si tengo racional de los coeficientes?
La respuesta es no, por exactamente la misma razón por entero coeficientes; en los dos casos son equivalentes. Para ver por qué, consideremos como ejemplo el polinomio $P(x) = \frac{1}{5}x^3-\frac{7}{3}x^2+\frac{5}{4}x-\frac{17}{8}$. A continuación, $P(x)$ tiene la misma raíz del polinomio $Q(x) = 120P(x) = 24x^3-280x^2+150x-255$ obtiene multiplicando $P$ por el MCM de los denominadores de todos sus coeficientes.
Los enteros de gauss?
Otra vez no, por dos resultados: uno relativamente sencillo, pero uno de los más sutiles, pero llegar mucho mas lejos. La manera sencilla de ver esto es de nuevo mediante el conjugado complejo: si $P(x)$ es un polinomio con enteros de Gauss para los coeficientes, a continuación, $Q(x) = P(x)\bar{P}(x)$ todos $P$'s raíces entre sus raíces, pero se ha (real) coeficientes enteros; por ejemplo, si $P(x) = x^2+(2+i)x+3i$,$\bar{P}(x) = x^2+(2-i)x-3i$$P(x)\bar{P}(x) = x^4+(2+i)x^3+(2-i)x^3+3ix^2-3ix^2+(2+i)(2-i)x^2 + 3i(2+i)x -3i(2-i)x +(3i)^2 = x^4+4x^3+5x^2-6x-9$.
El más abstracto de la razón, sin embargo, es que los números algebraicos (que se define como "raíces de polinomios con coeficientes enteros') son algebraicamente cerrado: cualquier número que es la raíz de un polinomio con números algebraicos para los coeficientes (que incluye todos los casos mencionados anteriormente, así como muchos más) es algebraica de sí mismo (y por lo tanto ya la raíz de un polinomio con coeficientes enteros). Esto puede ser demostrado por, básicamente, de compensación de los coeficientes: para un ejemplo de cómo funciona esto, supongamos que queremos encontrar un entero polinomio cuyas raíces se incluyen las raíces del polinomio $P(x) = x^2-\sqrt{2}x+1$. Bueno, primero que volver a escribir la ecuación de $P(x) = 0$ moviendo el $\sqrt{2}$ término a la izquierda, dando $\sqrt{2} x = x^2+1$; ahora elevando al cuadrado ambos lados (lo que puede introducir nuevas raíces, pero no el costo de las raíces tenemos), llegamos a la $2x^2 = \left(x^2+1\right)^2 = x^4+2x^2+1$ o $x^4+1=0$; por lo tanto, cualquier raíz de $P(x) = x^2-\sqrt{2}x+1$ también es una raíz de $Q(x) = x^4+1$. Un (mucho!) más complicado, pero similar procedimiento permitirá a todos los algebraica de coeficientes a ser 'borrado' de un polinomio, dando un polinomio con entero de sólo los coeficientes y las raíces de un superconjunto de la original raíces del polinomio. Tomando el contrapositivo de esto indica que no hay trascendental número puede ser la raíz de ningún polinomio con algebraica de coeficientes, ya sea real o complejo.
De hecho, es posible ir un paso más lejos aún: podemos decir con confianza que, por ejemplo, no cada número es la raíz de un polinomio con coeficientes cualquier expresión algebraica de números enteros, $e$$\pi$! Esta vez el argumento es más abstracto aún: sólo hay countably muchos '$\pi e$algebraicas expresiones, por lo que hay sólo countably muchos de los polinomios con $\pi e$-expresiones algebraicas para los coeficientes; y puesto que cada polinomio tiene un número finito de raíces, sólo hay countably muchas de esas raíces. Pero debido a que hay una cantidad no numerable de números reales, nuestras raíces deben excluir a algunos (de hecho, casi todos) los números reales. Este argumento muestra que los reales han infinito (de hecho, uncountably infinito) la trascendencia de grado sobre los racionales; no finito (o contable) número adicional de reales de los que están disponibles como coeficientes le permiten "capturar" todos los números reales (o complejos los números, por supuesto) como raíces de polinomios.
