Explicación intuitiva de la diferencia entre las ondas en dimensiones impares y pares

Question

Motivación: En dimensiones impares, las soluciones a la ecuación de onda: $u_{tt}(x,t)=\nabla u(x,t)$, $u_t(x,0)=0$, $u(x,0)=f(x)$, ($t\geq 0, x\in \mathbb{R}^n$) tienen la propiedad de que el valor de $u(x,t)$ sólo depende de los valores de $f(y)$ $|y-x|=t$. Por dimensiones, el valor de $u(x,t)$ dependen de todos los valores de $f(y)$ $|y-x|\leq t$. Una consecuencia de esto es, que cuando se cambia una bombilla de luz de encendido y luego se apaga (en 3D), habrá una onda de luz que viajan con la velocidad de la luz (ough) y detrás de la ola, habrá oscuridad total. Pero cuando se lanza una piedra en un estanque (con una superficie 2D), habrá un montón de onda que viajan hacia el exterior desde donde la piedra golpeó el agua y, en teoría, el agua nunca un nuevo todavía.

Pregunta: ¿alguien Puede dar una explicación intuitiva de esta diferencia entre los pares y los impares dimensiones?

Answer 1

He tenido esta pregunta hace algún tiempo y se muestra la explicación en Balazs 1954 papel de "la propagación de la Onda en pares e impares espacios dimensionales". Las singularidades de la integrands en la solución variar en función de la dimensión que da lugar a este efecto.

1. Cuando n es par, el integrando tiene una polos en el plano complejo, por lo que el el contorno tiene que ser deformado, y la resultado se refiere a sólo un valor de tiempo, el de la pole.
2. Cuando n es impar, el integrando tiene una punto de ramificación, y el contorno no puede rodear a la singularidad. En consecuencia, la solución contiene las contribuciones de todos los tiempos a lo largo de la rama de corte.

Answer 2

Esta es una muy buena pregunta. Kevin Brown una vez dio una respuesta detallada a lo que no me voy a molestar a reproducir aquí.

Un no-exactamente precisa manera de pensar es esta: una onda que se propaga en $n$ dimensiones puede ser pensado como una onda que se propaga en $n+1$ dimensiones, pero con un grado de libertad eliminado. Más precisamente: si $f$ resuelve la ecuación de onda $(\partial_t^2 - \triángulo) f(t,x) = 0$ en $\mathbb{R}^d$, entonces también se resuelve la ecuación $(\partial_t^2 - \partial_y^2 - \triángulo) f(t,y,x) = 0$ en $\mathbb{R}^{d+1}$, si se supone que $f(t,y,x) = f(t,0,x) = f(t,x)$ para todo $y$. (Es constante en el $y$ la dirección, así que cualquier derivado en esa dirección es 0.)

Ahora, si una onda se propaguen en, digamos, 5 dimensiones con la propiedad que usted ha mencionado. Luego en 4 dimensiones, los puntos "en el interior del cono de luz" se puede llegar en 5 dimensiones como en el cono de luz. O, en otras palabras, se asume que $f(t,x)$ es una solución para la ecuación de onda en 4 dimensiones. Y dejar que $f(t,y,x)$ ser el trivial de extensión con una dimensión añadida. Por lo que $f(t,y,x)$ resuelve la ecuación de onda en 5 dimensiones. Supongamos que en el tiempo $t = 0$, una bombilla se enciende en el origen $x = 0$ en 4 dimensión del espacio. Esto corresponde a un banco de bombillas de encender en 5 dimensiones del espacio a lo largo de la $$ y eje. Las cinco dimensiones de principio dice que un punto en las coordenadas $(y,x)$ será iluminado por una bombilla en $(y_0,0)$ a $t$ si $t^2 = x^2 + (y-y_0)^2$. Pero para cada $x, y$ que $|x| < |t|$, se pueden encontrar dos valores de $y_0$ tales que $t^2 = x^2 + (y-y_0)^2$. Y, entonces, algo de luz se debe a la zaga. (En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales, esto también es conocido como el método de descenso.)

Pero este argumento, todavía debe ser algo de luz a la zaga de 3 dimensiones también! La demanda, sin embargo, es este: debido a la naturaleza de la propagación, hay una interferencia destructiva al colocar dos dimensiones. Que tiene interferencia destructiva al colocar dos dimensiones, pero no tal problema al colocar sólo una dimensión, no es en absoluto evidente intuitivamente (al menos para mí). No obstante, la caída de la expresión para la solución fundamental de la ecuación de onda.