Diferencia entre el$((a+b)/2)^2$$ab$?

Question

Yo estaba pensando acerca de la diferencia entre el área de un rectángulo que no es un cuadrado, y un cuadrado con lados cuyas longitudes están en el punto medio entre las longitudes de $a$$b$. Hice un poco de manipulación algebraica y parece que la diferencia entre el área de la plaza, $((a+b)/2)^2$, y el área del rectángulo, $ab$$(a^2+b^2)/4 - (ab)/2$.

Ahora, si tienes un triángulo rectángulo con lados de $a$$b$, que es la hipotenusa sería la raíz cuadrada de $a^2 + b^2$.

Así que lo que yo me pregunto es ¿por qué la diferencia entre el área del cuadrado y del rectángulo es igual a la diferencia entre un cuarto del cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo con lados de $a$$b$, e $1/2$ el rectángulo $ab$? Si estás tratando de encontrar esta diferencia puramente con la geometría, ¿qué medidas podría tomar para llegar a esta conclusión, a partir de la original, el cuadrado y el rectángulo?

Answer 1

Aquí está mi propuesta de edificio en gran medida en una prueba del Teorema de Pitágoras:

El rectángulo rojo es $ab$. Se puede ver cómo los cuatro triángulos azules, con las piernas que son la mitad de $a$ $b$ respectivamente encajan muy bien en la mitad izquierda del rectángulo. El cuadrado blanco es $1/4$ de el cuadrado de la hipotenusa.

Así que restando el rectángulo de la plaza grande, esencialmente estamos restando la mitad derecha del rectángulo, del cuadrado blanco.

Answer 2

Una nota más:

$\frac {(a^2 + b^2)}{4} - \frac {ab}2 = \big(\frac {(a-b)}{2}\big)^2$

Tal vez una imagen te ayudará a:

Primera figura: la plaza mayor tiene dimensiones de la $(A+B)/2 \times (A+B)/2$ Que tiene puede ser cortado en pequeños rectángulos y cuadrados de tamaño $A/2 \times B/2,A/2 \times (B-A)/2, A/2 \times A/2$ dejando el cuadrado verde que es $(B-A)/2 \times (B-A)/2$

Los rectángulos blancos puede ser re-organizadas en un $A\times B$ rectángulo.

Parte 2. $C$ es la hipotenusa de la $A\times B$ rectángulo.

$(C/2)^2 - (AB)/2 = ((B-A)/2)^2$