Hélice en forma de hélice

Question

Estoy tratando de trabajar a cabo una "hélice en forma de hélice" matemáticamente. Intuitivamente pienso en esto como un cable de acero, que se compone de una serie de pequeños cables de acero unidos en espiral. Si quería encontrar la longitud de uno de los cables individuales, sería atado en una espiral en el cable más pequeño y, a continuación, los cables atados en una espiral más grande de cable. Sé que si yo quería hacer una hélice cuyo fin de mes, me gustaría utilizar la parametrización $$((a+b\cos(\omega{t}))\cos{t},(a+b\cos(\omega{t})\sin{t},b\sin(\omega{t})),t=0..2\pi$$ He estado tratando de hacer un mapa en mi cabeza de cómo, en lugar de curling de la hélice, haciendo que la hélice de viaje en el camino de una hélice. He logrado parcialmente con $$((a+b\cos(\omega{t}))\cos{t},(a+b\cos(\omega{t})\sin{t},t),t=0..\infty$$ Pero esto no mantener a los más pequeños de la hélice en el tacto, y la convierte en una onda sinusoidal de la hélice. También he intentado $$((a+b\cos(\omega{t}))\cos{t},(a+b\cos(\omega{t})\sin{t},tb\sin(\omega{t})),t=0..2\pi$$ Pero esto me da una especie de nautilus forma donde la hélice rizos en sí mismo y aumenta en tamaño y rizos en torno a sí mismo. Lo que me estoy perdiendo?

EDIT: También, lo que si queríamos hacerlo de nuevo, como una hélice en una hélice en una ... en una hélice'?

Answer 1

Como en una anterior respuesta yo uso el local marco a lo largo de la hélice para ayudar a parametrizar la curva deseada. A partir de esa respuesta me la reutilización: una parametrización de una hélice a lo largo de la $x$-eje $$ \vec{r}(t)=(ht,R\cos t, R\sen t). $$ Su vector tangente $$ \vec{t}=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}=(h,-R\sen t,R\cos t). $$ Su vector normal $$ \vec{n}(t)= \frac{\frac{d\vec{t}}{dt}}{\left\Vert\frac{d\vec{t}}{dt}\right\Vert}=(0,-\cos t,-\sen t). $$ Y es el vector binormal $$ \vec{b}(t)=\frac1{\Vert\vec{t}\Vert}\vec{t}\times\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{R^2+h^2}}(R,h\sen t,-h\cos t). $$ Este es, por supuesto, ortogonal a ambos $\vec{t}$$\vec{n}$.

El tubo alrededor de la hélice (con un radio de $a$), a continuación, tiene una parametrización de la $$ S(t,u)=\vec{r}(t)+\vec{n}(t)\cos u+\vec{b}(t)\pecado u $$ con $t$ van más de tantos bucles como usted desea, y $u$ oscila en el intervalo de $[0,2\pi]$.

Para obtener una curva de bucle alrededor de la hélice a lo largo de esa superficie, nosotros simplemente establezca $u=kt$, donde $k$ indica el número de rotaciones alrededor de la sonda por la rotación de la sonda alrededor de la $x$-eje.

Aquí está la imagen de la curva resultante con $R=3$, $h=1$, $a=1$ y $k=12$. Para mayor claridad he incluido tanto el tubo así como la curva.

La parametrización de que delgado "cable" en la superficie del tubo es (con la por encima de los valores de las constantes) $$ \left\{\begin{array}{ccl} x&=&t+\frac{3\sin 12 t}{\sqrt{10}},\\ y&=&3\cos t-\cos t\cos 12t+\frac{\sin t\sin 12t}{\sqrt{10}},\\ z&=&3\sin t-\sin t\cos 12t-\frac{\cos t\sin 12t}{\sqrt{10}}. \end{array}\right. $$