¿Cuál es la importancia de la trigonométricas del ángulo de fórmulas, como la suma y la diferencia de las fórmulas, el doble del ángulo de la fórmula, y la mitad del ángulo de la leche de fórmula? Entiendo que nos ayudan a calcular algunos trig proporciones sin la ayuda de una calculadora, pero supongo que yo no entiendo muy bien el punto de aprender de ellos, ya que no son los mismos algoritmos que se usan en las calculadoras para calcular proporciones trigonométricas (la mayoría de ellos utilizan una serie de Taylor, ¿verdad?). No estaría de nuestro tiempo ser mejor gastado en el aprendizaje de la calculadora, los algoritmos de modo que podemos calcular la relación en cualquier ángulo? Gracias!
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Luke Duddridge
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Trigonométricas del ángulo de fórmulas son importantes ya que ayudan a simplificar expresiones que son difíciles de resolver en más fácil. Esto es especialmente útil cuando se trabaja con los límites y las integrales.
Un par de ejemplos concretos incluyen:
$\int\dfrac{\cos^2x}{1+\sin x}\space dx, \int\cos^2 x\space dx, \int \sin^5x\cos^2x \space dx,\int\sin3x\sin7x \space dx$
Voy a evaluar a la última, así que usted puede ver exactamente cómo hacer las cosas más fáciles.
$\int \sin3x \sin7x \space dx=-\dfrac{1}{2}\int(\cos10x-\cos(-4x))\space dx=-\dfrac{1}{2}\int\cos10x \space dx +\dfrac{1}{2}\int\cos4x \space dx=-\dfrac{1}{20}\sin10x+\dfrac{1}{8}\sin4x+C.$
hasnohat
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2527
Considere por ejemplo,$2\cos(x)\sin(x)=\sin(2x)$. ¿Qué ocurre si usted desea calcular la derivada de esto?
$\frac{d}{dx}2\cos(x)\sin(x) = -2\sin^2(x)+2\cos^2(x)$
$\frac{d}{dx}\sin(2x) = 2\cos(2x)$
Ahora supongamos que estás estudiando física y una expresión como ésta. Dependiendo de la versión que uso, que vendrá con potencialmente diferentes interpretaciones físicas.
abyss.7
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Es claro que las funciones trigonométricas son utilizados. Y eso, creo, es la razón principal de por qué son importantes. Si usted no sabe acerca de ellos, entonces usted no puede comunicarse con las personas que hacen uso de ellos. Una gran cantidad de matemáticos de texto es cómodamente por escrito el uso de estas funciones. Así, la historia te obliga a usar ese idioma.
Por otra parte, estrictamente hablando, se podría ignorar por completo de ellos. La razón es que hemos
$$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ and $$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},$$
donde $i=\sqrt{-1}$. Esto significa que las funciones trigonométricas pueden ser reemplazados por todas partes utilizando en su lugar la exponencial $e^{y}$ función. Yo no necesita el uso de números complejos, y puesto que los números complejos se inventaron más tarde en la historia, que es la razón por la que todavía hablar de las funciones trigonométricas.
Para dar un ejemplo de cómo podrían funcionar las cosas vamos a ver algunas de esas identidades trigonométricas. Note primero que en las fórmulas anteriores hemos $e^{ix}$$e^{-ix}$, sólo $1/e^{ix}$. Para la comodidad de escribir voy a escribir $z$ en lugar de $e^{ix}$. Así que las fórmulas anteriores se lea como $$\cos(x)=\frac{z+z^{-1}}{2}$$ and $$\sin(x)=\frac{z-z^{-1}}{2i}.$$
Supongamos que queremos volver a escribir la fórmula para el coseno de la doble ángulo. Observe que $e^{i2x}=(e^{ix})^2=z^2$. Luego tenemos a $$\cos(2x)=\frac{z^2+z^{-2}}{2}=(\frac{z+z^{-1}}{2})^2-(\frac{z-z^{-1}}{2i})^2=\cos^2(x)-\sin^2(x).$$
Como se puede ver, la comprobación de la igualdad en el medio sólo requiere básicos de simplificación de funciones racionales de $z$. Esto se puede hacer sin pensar. Necesitamos recordar que $i^2=-1$, pero el resto es trabajo como haríamos para demostrar $(z-1)(z+1)=z^2-1$, mecánicamente. Así que, al menos para probar estas identidades trigonométricas, deshacerse de las funciones trigonométricas no representa una ventaja. Esto significa que, por esta re-escritura, la mayoría de las identidades trigonométricas utilizados por la escuela son bastante trivial identidades entre polinomios. Creo que los alumnos sería muy feliz si en lugar de tener que demostrar identidades trigonométricas todos ellos tenían que hacer es jugar con los polinomios en la $z$.
Por qué no se hace, entonces. Como se puede ver, el trabajo requiere de los números complejos. Los números complejos se inventaron mucho más tarde de las funciones trigonométricas. Al principio, se encontraban inmersos en una misteriosa aura. La gente usaba $\sqrt{-1}$, de una manera ad hoc, pero sin una interpretación que se les dé confianza acerca de su naturaleza. Probablemente esa es la razón por la que los nombres de los números imaginarios o complejos, algunos de ellos fueron utilizados. Más tarde fueron dados, por ejemplo, una interpretación geométrica. Son los puntos en el plano en el que se definen una manera de multiplicar. Nada más extraño que al definir cómo se multiplican los puntos en una línea, que usted llame a la línea real. Función trigonométrica se introdujeron por primera vez como nociones geométricas. En este sentido, las funciones trigonométricas no son más que números complejos.
Así, las funciones trigonométricas son útiles, pero (me atrevo a decir que 'sólo', aunque no soy muy positivas sobre él), porque la historia parte de nuestro lenguaje matemático en primer lugar; y por lo tanto son útiles ya que se ven obligados a utilizarlos para comunicarse el uno al otro.
Andre Holzner
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La triple ángulo fórmula se utiliza para demostrar la imposibilidad de trisecting un ángulo.
-Estos son la base de los polinomios de Chebyshev, un útil conjunto de polinomios ortogonales.
-También vienen cuando hacer las cosas con las olas en la física: Una onda estacionaria $\sin(kx)\cos(\omega t)$ puede escribirse como la suma de una onda de ir hacia adelante y hacia atrás; ver aquí. En general, esta capacidad para componer/descomponer las ondas viene muy bien bastante a menudo en la onda de la física. Yo uso estas fórmulas todo el tiempo aquí.
-También vienen en (y/o) complejo de la multiplicación:
$$\cos(a+b)+i\sin(a+b)=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)=[\cos a\cos b-\sin a\sin b]+i[\sin a \cos b+\sin b\cos a]$$
(tenga en cuenta que $i^2=-1$). En este sentido, usted incluso no tienen realmente para "memorizar". Una vez que te hayas acostumbrado a la relación entre los números complejos y la geometría, que está inmediata y natural de las cosas para mantener a tropezar.
Muchas de las razones para aprender de estos no tiene nada que ver con el cálculo de particular ángulos. Es realmente allí porque $\sin$ $\cos$ subido mucho (como mucho, no sólo para los triángulos según sus clases podría implicar), y el aprendizaje de cómo reescribir expresiones de ellos en más formas útiles es una consecuencia natural de intentar utilizar cuando usted los encuentra escondido en un problema.
