He utilizado el siguiente resultado en una respuesta en este sitio.
Supongamos que $a_n>0$ son números reales positivos tales que $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=+\infty$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$. Diez para la elección de la $A,B\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ tal que $A\le B$ existe una secuencia $\varepsilon_n$ de manera tal que cada una de las $\varepsilon_n\in\{\pm1\}$, $$\liminf\limits_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \varepsilon_k a_k=Un \qquad\text{ y }\qquad \limsup\limits_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \varepsilon_k a_k=B.$$
En otras palabras, esto nos dice cómo podemos cambiar el comportamiento de la serie, cambiando los signos de los términos de la serie.
Bosquejo de la prueba. Elegimos dos secuencias que $A_n\to A$, $B_n\to B$. Construimos la secuencia de $\varepsilon_n$ en los bloques.
En el primer bloque se elija $\varepsilon_k=1$ y nos detenemos en la primera $n_0$ al $\sum\limits_{k=1}^{n_1} \varepsilon_ka_k > A_1$.
El segundo bloque se han signos negativos, y nos paramos al $\sum\limits_{k=1}^{n_2} \varepsilon_k a_k < B_1$.
Por inducción podemos seguir en la elección de los bloques de con $+1$'s y $-1$'s como este. (I. e. siempre tenemos $\sum\limits_{k=1}^{n_{2l-1}} \varepsilon_ka_k > A_l$$\sum\limits_{k=1}^{n_{2l}} \varepsilon_ka_k < B_l$; por otra parte, los números de $n_l$ son siempre elegidos en la $l$-ésimo paso de la construcción como el mínimo número posible con estas propiedades.)
La divergencia de la serie original se utiliza para conseguir que cada bloque termina en algún lugar. El hecho de que $a_n\to0$ se utiliza para conseguir que los valores de $\liminf$ $\limsup$ son de hecho $A$ y $B$. $\hspace{2cm}\square$
Creo que este resultado es en ocasiones útil.
Lo que estoy pidiendo es alguna referencia para llegar a este resultado. (He buscado un poco y no la encontramos. No he podido encontrar un duplicado de la pregunta en este sitio). O cualquier enlace a un lugar, donde este resultado se explica en más detalle. (Por supuesto, si lo desea, puede publicar una descripción más detallada de la prueba, diferentes pruebas o algunos comentarios relacionados a este resultado como una respuesta.)
