estados cuánticos localmente similares

Question

Supongamos que para algunos $k < n$ hay algún estado puro $|\psi\rangle$ y otro estado mixto $\rho$ en n qubits tal que para todo subconjunto $K$ de $k$ qubits, tenemos:

$\text{Tr}_\bar{K}(|\psi\rangle \langle\psi|) = \text{Tr}_\bar{K}\big(\rho\big)$

¿Implica siempre la existencia de un estado puro $|\psi'\rangle$ sobre n qubits tal que $|\psi\rangle \neq |\psi'\rangle$ y:

$\text{Tr}_\bar{K}(|\psi\rangle\langle\psi|) = \text{Tr}_\bar{K}(|\psi'\rangle\langle\psi'|)$

para todos esos $K$ ?

Answer 1

Esta es una gran pregunta :D

Podemos llamar a todos los estados puros $|\psi\rangle$ para los que no existen estados puros $|\psi'\rangle$ con $Tr_{\bar{K}}(|\psi\rangle\langle\psi|)=Tr_{\bar{K}}(|\psi'\rangle\langle\psi'|)$ "determinado de forma única entre los estados puros" (UDP).

Del mismo modo, podemos llamar a todos los estados puros $|\psi\rangle$ para los que no existen estados mixtos o puros $\rho$ con $Tr_{\bar{K}}(|\psi\rangle\langle\psi|)=Tr_{\bar{K}}(\rho)$ "determinado de forma única entre todos los estados" (UDA).

Su pregunta equivale a preguntar si el hecho de no ser UDA implica no ser UDP. Podemos reformularla preguntando si ser UDP implica ser UDA.

En trabajos recientes mis colegas y yo hemos abordado esta cuestión de forma negativa. Existen estados $|\psi\rangle$ que no son UDA (es decir, existen $\rho$ tal que $Tr_{\bar{K}}(|\psi\rangle\langle\psi|)=Tr_{\bar{K}}(\rho)$ ) pero que también son UDP (es decir, no hay $|\psi'\rangle$ tal que $Tr_{\bar{K}}(|\psi\rangle\langle\psi|)=Tr_{\bar{K}}(|\psi'\rangle\langle\psi'|)$ ).

El ejemplo que consideramos en nuestro trabajo es la siguiente familia de estados de 4 qubits:

$|\psi\rangle=c_0|w_0\rangle+c_2|w_2\rangle+c_4|w_4\rangle$

Con $|w_i\rangle \approx P_{sym} (|0\rangle^{\otimes 4-i}|1\rangle^{\otimes i})$ donde $P_{sym}$ es el proyector sobre el subespacio simétrico. Para ciertos rangos de parámetros (concretamente cuando $c_i\in \mathbb{R}$ , $c_2\neq0, c_0\neq-c_4$ , $(c_2^2/2-c_0^2)(c_2^2/2-c_4^2)\neq c_2^2(c_0+c_4)^2/3$ ) podemos demostrar que este estado es UDP. Es más, podemos demostrar que si la matriz de densidad reducida de 2 partes de nuestro estado es separable entonces el estado no es UDA. Esto puede verse observando que si $\rho_2=Tr_{2}(\psi)$ es separable entonces se puede expresar como $\rho_2=\sum_i P_i \sigma_i \otimes\sigma_i$ lo que implica la existencia de un estado $\rho_4=\sum_i P_i \sigma_i^{\otimes 4}$ que comparte las mismas matrices de densidad reducida que $\psi$ . Utilizando este hecho podemos encontrar regiones en los rangos de parámetros donde $\psi$ es a la vez UDP y no UDA

Así que la respuesta a su pregunta es, curiosamente, no.