En la integral de la $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[4]x\ \sqrt{1-x}\ \sqrt[4]{1-x\,\gamma^2}}=\frac{1}{N}\,\frac{2\pi}{\sqrt{2\gamma}}$

Question

V. Reshetnikov dio la interesante integral,

$$\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt[4]x\ \sqrt{1-x}\ \sqrt[4]{2-x\,\sqrt3}}=\frac{2\,\sqrt2}{3\,\sqrt[8]3}\pi\tag1$$

Después de algunos experimentos, resulta que, más en general, dado un número entero/racional $N$, vamos a encontrar una expresión algebraica número $\gamma$ que resuelve,

$$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[4]x\ \sqrt{1-x}\ \sqrt[4]{1-x\,\gamma^2}}=\frac{1}{N}\,\frac{2\pi}{\sqrt{2\gamma}}\tag2$$

(Comparar con el similar integral en este post.) De manera equivalente, para encontrar $\gamma$ de manera tal que,

$$\begin{aligned} \frac{1}{N} &=I\left(\gamma^2;\ \tfrac14,\tfrac14\right)\\[1.8mm] &= \frac{B\left(\gamma^2;\ \tfrac14,\tfrac14\right)}{B\left(\tfrac14,\tfrac14\right)}\\ &=B\left(\gamma^2;\ \tfrac14,\tfrac14\right)\frac{\sqrt\pi}{\Gamma^2\left(\frac14\right)}\end{aligned} \tag3$$

con la función beta $B(a,b)$, beta incompleta $B(z;a,b)$ y regularización de la beta $I(z;a,b)$.

Reshetnikov ejemplo, después de los ajustes fue el caso de $N=\frac{3}{2}$$\gamma=\frac{3^{1/4}}{\sqrt{2}}$. Soluciones para el prime $N=2,3,5,7$ son conocidos. Deje $v=\gamma$, entonces, $$-1 + 2 v^2 = 0\quad\quad N=2\\ - 1 + 2 v + 2 v^2 = 0\quad\quad N=3\\ - 1 + 8 v - 4 v^2 - 8 v^3 + 4 v^4 = 0\quad\quad N=5$$ etc, con $N=7$ $12$grados de la ecuación. Me he encontrado con estas usando Mathematica's FindRoot comando pero, a diferencia de los otros post, no pude encontrar una buena forma común para $\gamma$. (El patrón de esta familia también es diferente. Yo había esperado $N=7$ también implicar un sextic solamente.)

P: ¿Es cierto que uno puede encontrar algebraicas número $\gamma$ para todos los prime $N$? ¿Qué es $N=11$?

Answer 1

Tomando $\gamma$ a ser el más pequeño positivo de la raíz (el 4 de raíz, de acuerdo a Mathematica) del grado 30 polinomio $$\begin{align*} f(x) = -1 + 30 x + 170 x^2 + 672 x^3 - 6956 x^4 - 6808 x^5 + 42872 x^6 - 56576 x^7 - 241616 x^8 + 712800 x^9 + 1099296 x^{10} - 2718208 x^{11} - 3427264 x^{12} + 5028992 x^{13} + 8030592 x^{14} - 3956736 x^{15} - 14783232 x^{16} - 2065920 x^{17} + 20241920 x^{18} + 7954432 x^{19} - 19317760 x^{20} - 7817216 x^{21} + 12445696 x^{22} + 3342336 x^{23} - 5435392 x^{24} - 122880 x^{25} + 1662976 x^{26} - 393216 x^{27} - 344064 x^{28} + 98304 x^{29} + 32768 x^{30} \end{align*}$$ parece dar una solución para $N = 11$.

Answer 2

Siguiendo de nuevo a Nemo plomo en esta respuesta, nos encontramos con la duplicación de la fórmula, $$\frac{1}{2}I(p^2;\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4})=I(1-q^2;\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4})$$ donde $p,q$ están relacionados por la $8$-deg, $$p^2 (-1 + 2 q + q^2)^4 = 16 q (-1 + q^2) (1 + q^2)^2$$ Esto nos permite encontrar infinitamente muchos $\displaystyle\frac{1}{2^n N}$.

Por ejemplo, desde la $I(p^2;\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4})=\frac{1}{3}$ es conocida, entonces la solución para $I(\gamma^2;\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3})=\frac{1}{6}$ resulta implican un $16$grados de la ecuación.