Fracaso de isomorfismos en tallos que surgen de un isomorfismo de poleas

Question

Es bien conocido (Hartshorne 2.1.1) que si $F$ y $G$ se poleas en un espacio de $X$, entonces $\phi:F\rightarrow G$ es un isomorfismo si y sólo si la inducida por el tallo de mapa $\phi_p:F_p\rightarrow G_p$ es un isomorfismo para todos $p\in X$. Sin embargo, si tenemos una colección de isomorphisms $\{\psi_p:F_p\rightarrow G_p\}_{p\in X}$, esto no garantiza que $F$ y $G$ son isomorfos, porque el $\psi_p$ no estar relacionadas entre sí, es decir, puede ser que no haya una gavilla de mapa $\psi:F\rightarrow G$ tal que $\psi_p$ es la inducida por el tallo mapa para todos los $p\in X$.

Sin embargo, hace poco estuve haciendo de este punto con alguien y era incapaz de pensar en un buen ejemplo de la no-isomorfo $F$ y $G$ tener isomorphisms $\psi_p:F_p\rightarrow G_p$. Estoy seguro de que sabía que uno en algún momento, pero estoy de supresión de ahora. Alguien puede proporcionar un ejemplo ilustrativo, por ejemplo, un ejemplo que se produce en algunos naturales o problema básico, o uno que capta lo esencial patrón de ningún ejemplo donde se presenta este problema, o uno donde es claro que $F$ y $G$ no podría ser isomorfo?

Answer 1

En un espacio localmente anillado $(X, \mathcal O_X) $, una gavilla localmente libre $\mathcal E$ de $ $r la fila tiene (como su nombre indica) la propiedad $\mathcal E_p \simeq \mathcal O ^ {\oplus} _ {X, p} r$ (isomorfismo de módulos$ $O_ {X, p}). Por lo tanto llegar a cualquier número de ejemplos naturales Considerando no trivial haces localmente libres $\mathcal E \not\simeq \mathcal O ^ {\oplus} _X r$ en tu categoría favorita: esquemas, múltiples topológicos, variedades diferenciables, espacios analíticos,...

Answer 2

Deje que $X$ ser un espacio de Hausdorff. Considere la posibilidad de:

1. La constante gavilla de $\mathbb{Z}$.
2. La gavilla $\bigoplus_{x \in X} i_*(\mathbb{Z})$, donde $i_*$ significa la inclusión del punto $x \in X$. Tenga en cuenta que los tallos son de $\mathbb{Z}$ cada $x \in X$ como tomar los tallos de los viajes con colimits (izquierda medico adjunto del rascacielos gavilla functor, y es en realidad un caso especial de la inversa de la imagen functor).

Pero estos nunca debe ser isomorfo. Si $X$ es $\mathbb{R}$, por ejemplo, todos los sectores de la primer ejemplo será sólo de $\mathbb{Z}$. Habrá un montón más global de las secciones en el segundo ejemplo.

Answer 3

Que $X$ sea un espacio topológico, y los sistemas abiertos son: $X = \ {a, b\} $, $U = \ {a\} $ y conjunto vacío.

$F$ y $G$ son dos poleas en $X$ de grupos abelianos. Set de $F (X) = F (U) = G (X) = G (U) = \mathbb {Z} / 2$, \phi:F $(X) \to x+1$ es identidad. Pero $\psi:G (\to G(U)$ X) es cero mapa. Verificar $F$ y $G$ son gavillas en $X$. Pero no pueden ser isomorfos.