¿Cómo puedo demostrar que esto no es un contraejemplo a la Hipótesis de Riemann?

Question

Yo bromeaba con mi amigo acerca de refutar la Hipótesis de Riemann y yo al azar le dio este número: $$ z_? = \frac13 + 5466322356764788987534453212467843688257746873357895.6356798776664333 yo $$

Él conectó a Mathematica y consiguió $\zeta(z_?)=0.000000000445763 + 0.000000011155i$. Esto fue muy cercano a cero para un completamente al azar la elección. Para investigar, realizamos un pequeño programa que calcula $\min_{k\in S}\zeta(z_?+ik\epsilon)$ donde $\epsilon=10^{-8}$ $S$ fue una "gran" subconjunto de $\mathbb{Z}$ (es decir,$[-10^{10},\ 10^{10}]\cap\mathbb{Z}$). Después de unos 10 minutos de cálculos, Mathematica escupir esto:

$$ \zeta(z_!) = 0.\times10^{-33}+0.\times10^{-33}i \\ z_! = \frac13 + 5466322356764788987534453212467843688237746873357395. 635356798779776664433i $$

Ahora sé que $z_!$ no sería un valor exacto de la raíz, pero que muy cerca si es que.

Me niego a creer que yo aleatoriamente adivinado un contraejemplo de RH. Yo, simplemente, se NIEGAN. ¿Cómo puedo demostrar que esto no es un contraejemplo? ¿Puedo usar el asymptotics de la función zeta?

Edit: Algo que me hizo sospechoso es que el cálculo sólo duró 10 minutos. No sé lo que la aplicación de los zeta están apuntados en Mathematica, pero haciendo 10 mil millones de cálculos de la función zeta de un argumento de gran tamaño con alta exactitud suficiente parece que debería tomar más de 10 minutos, lo cual me hizo pensar que esto es puramente un error de punto flotante, o un error de redondeo, o algo que no es analítica.

Answer 1

La mayoría de algoritmos de computación depende de la serie de expansiones que podría ser representado por condicionales bucles declaraciones de bits y de operaciones de cambio. Usted puede escribir su propio programa para calcular Riemann Zeta función dentro de la crítica de la tira en función de Dirichlet-Eta función. $$ \begin{align} & \eta(s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s} \\[4mm] & s=a-i\,b \Rightarrow \frac{1}{n^s}=\frac{n^{i\,b}}{n^a}=\frac{e^{i\,b\log n}}{e^{a\log n}}=\frac{\cos(b\log n)+i\,\sin(b\log n)}{\exp(a\log n)} \Rightarrow \\[4mm] & \color{blue}{-\eta(a-i\,b)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(b\log n)}{\exp(a\log n)}+i\,\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\sin(b\log n)}{\exp(a\log n)}} \\[4mm] & \text{Where}\colon \\ & \qquad \log n=-\log(1/n)=-\log\left(1-(1-1/n)\right)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1-1/n)^m}{m}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(n-1)^m}{m\,n^m} \\ & \qquad \exp(-a\log n)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\frac{(a\log n)^m}{m!} \\ & \qquad \cos(b\log n)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\frac{(b\log n)^{2m}}{(2m)!} \\ & \qquad \sin(b\log n)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\frac{(b\log n)^{2m+1}}{(2m+1)!} \\ & \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\color{white}{\text{.}} \\ \end{align} $$ Funciones separadas, podría ser por escrito para calcular las funciones {Log(x), Exp(x), Cos(x), sin(x)} uso de condicionales bucles que se rompen en un error deseada de la tolerancia.
Así como, si usted desea reducir el punto flotante de error y aumentar la precisión, se puede volver a definir las operaciones básicas {Add($x + y$), África($x - y$), Mul($x \times y$), Div($x \div y$)} con las nuevas funciones de su cuenta, utilizando el bit de desplazamiento de sus operaciones concatenadas variables. Esto le dará la capacidad de hacer el cálculo con mucho más que el de 64 bits.

Por el camino, pero por desgracia, el cálculo de la Dirichlet-Eta partes real e imaginaria de usar por encima de la serie para el cuestionado valor, mostrar los valores que no son iguales a las de ceros. (lo siento!)