¿Por qué es $\displaystyle\int^{\infty}_{0}{(1-\cos x)\over{x^{2}}}dx = \frac\pi{2}$?

Question

He estado teniendo problemas para serie de Fourier de comprensión y análisis en una de mis clases. Este es uno de los problemas del texto y tenemos que demostrar que esto es cierto. He hecho otros problemas relacionados con éste, pero no me ayudan. He intentado solucionarlo manualmente y se ha llegado a nada. Como ya está la respuesta, me gustaría una explicación por lo que yo puedo entender este material mejor. Gracias por la ayuda.

$$\int^{\infty}_{0}{(1-\cos x)\over{x^{2}}}dx = \frac\pi{2}$$

Esta es la integral de referencia.

Answer 1

Desde $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ hemos $$ I:=\int^{\infty}_{0}\frac{(1-\cos x)}{x^2}dx =\int_{0}^{\infty}\frac{4\sin^2(x/2)}{x^2}dx $$ Después de la sustitución de $t=x/2$ tenemos $$ I=\int_{0}^{\infty}\frac{2\sin^2 t}{t^2}dt $$ Ya que la función $\frac{2\sin^2 t}{t^2}$ es incluso, podemos decir $$ I=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin^2 t}{t^2}dt =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2 t}{t^2}dt $$ Ahora ver esta respuesta

Answer 2

Otra forma de obtener la respuesta es a través de la integral de Dirichlet. Observe:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx$$

después de una aplicación de integración por partes donde integrado $\frac{1}{x^{2}}$ y había distinguido $1-\cos(x)$. Entonces mire integral de Dirichlet.

Answer 3

Tenemos la siguiente propiedad de transformadas de Laplace: $$\mathcal{L} \left\{ \frac{f(t)}{t} \right\}(s)=\int_s^\infty F(p)dp. $$ Replacing $f(t)$ with $\frac{f(t)}{t}$ da un ligero generalización:

$$\mathcal{L} \left\{ \frac{f(t)}{t^2} \right\}(s)=\int_s^\infty \mathcal{L} \left\{ \frac{f(t)}{t} \right\}(p)dp=\int_s^\infty \int_p^\infty F(q)dqdp. $$

Por último, el uso de $f(t)=1-\cos t$ en el anterior y tomando $s=0$ da

$$\int_0^\infty \frac{1-\cos t}{t^2} e^{-0t}dt=\int_0^\infty \int_p^\infty \left( \frac{1}{q}-\frac{q}{p^2+1} \right)dq dp=\int_0^\infty \log q-\frac{1}{2}\log (q^2+1) \big]_{p=p}^{q=\infty} dp =\int_0^\infty \left( \frac{1}{2} \log(p^2+1)-\log p \right) dp $$ and the last integral can evaulated to $\frac{\pi}{2}$ a través de la integración por partes.