Symplectic son objeto de estudio habitual en la física clásica y las ciencias de la no linealidad.
Al principio supuse que era otra forma de decir hamiltoniano, pero también lo he oído en el contexto de los sistemas disipativos, así que ya no confío en mi suposición.
Mi pregunta ahora es, ¿por qué los autores hacen hincapié en la simplecticidad y cuál es la propiedad que suelen implicar con ello? O en otros términos más provocativos ¿Por qué merece la pena mencionar que algo es simpléctico?
Mecánica hamiltoniana estándar en $N$ -espacio de fase de las partículas $R^{6N}$ es inadecuado para describir sistemas mecánicos de interés que no son de la $N$ forma de partícula, por ejemplo, cuerpos rígidos. Sin embargo, todas las técnicas principales de la mecánica clásica no dependen de la estructura específica de $R^{6N}$ sino sólo en el hecho de que se puede definir sobre ella un soporte de Poisson.
Así, la mecánica clásica se generaliza sin dificultades a la mecánica en las variedades de Poisson. Se trata de espacios de fase en cuya álgebra de funciones lisas se puede definir un corchete de Poisson con las propiedades conocidas de $N$ -espacio de fase de partículas. (Por ejemplo, el espacio de fase de los cuerpos rígidos es la múltiple de Lie-Poisson del álgebra de Lie que genera el grupo de los movimientos rígidos). Para la mecánica clásica conservadora en términos de colectores de Poisson, véase el libro
J.E. Marsden y T.S. Ratiu, Introducción a la mecánica y la simetría: una exposición básica de los sistemas mecánicos clásicos, Springer 1999.
\url {http://higherintellect.info/texts/science\_and\_technology/physics/Introduction a Mecánica y Simetría.pdf}
Una clase importante de variedades de Poisson son las variedades simplécticas, en las que el corchete de Poisson se define mediante una forma simpléctica. (Un ejemplo típico es el espacio cotangente de una variedad de configuración.) La importancia de las variedades simplécticas proviene del hecho de que las variedades de Poisson suelen foliarse en hojas simplécticas, y cualquier dinámica hamiltoniana restringida a una hoja de este tipo es simpléctica.
Edición: Aunque la mecánica clásica en los libros de texto suele limitarse al caso conservador, se pueden añadir términos disipativos a una mecánica que de otro modo sería hamiltoniana. Por ejemplo, la mecánica clásica disipativa para fluidos realistas se discute en términos de corchetes de Poisson en el libro
A.N. Beris y B.J. Edwards, Thermodynamics of flowing systems with internal microstructure, Nueva York 1994
La mecánica clásica es el estudio de los sistemas de segundo orden. La formulación geométrica obvia es a través de semiespacios, es decir, campos vectoriales de segundo orden en el haz tangente. Sin embargo, esto no es especialmente útil, ya que no existe una forma natural de derivar un semirrayo a partir de una función (es decir, un potencial).
La mecánica lagrangiana y la hamiltoniana son dos soluciones a ese problema. Aunque estos formalismos se formulan tradicionalmente en los haces tangente y cotangente (es decir, el espacio de fases de la velocidad y el momento), se han generalizado: La mecánica lagrangiana condujo a la formulación del haz de chorros de la teoría de campos clásica, y la mecánica hamiltoniana a la estructura de Poisson.
La estructura simpléctica es una versión reducida de la estructura del haz cotangente, la parte que resultó ser necesaria para otros resultados, sobre todo probablemente la reducción del espacio de fases mediante simetrías. No ocupa un lugar destacado en las clases de mecánica de licenciatura (al menos no en las que yo asistí) porque, cuando se trabaja en coordenadas canónicas, adopta una forma muy sencilla, básicamente el signo menos en las ecuaciones de Hamilton, donde se utiliza de forma similar al tensor métrico en relatividad, es decir, para crear un campo vectorial contravariante a partir de la diferencial covariante de la función de Hamilton.
La geometría simpléctica también desempeña su papel en termodinámica: Según tengo entendido, la relación Gibbs-Duhem nos dice básicamente que estamos tratando con un submanifold lagrangiano de un espacio simpléctico, que es la razón por la que los potenciales termodinámicos están relacionados mediante transformaciones de Legendre.
La geometría simpléctica puede ser la piedra angular de la geometrización de la física. Además del hecho bien conocido de que la mecánica clásica puede describirse mediante geometría simpléctica, dadas algunas otras estructuras, los espacios simplécticos pueden cuantizarse para producir también mecánica cuántica. Una subclase de geometrías simplécticas, a saber Geometría de Kaehler es especialmente importante para los problemas de cuantización.
Muchas teorías físicas, como las de Yang-Mills y la gravedad, tienen descripciones en el contexto de la geometría simpléctica. revisión: LA SIMPLECTIZACIÓN DE LA CIENCIA por Gotay e Isenberg.
También pueden tratarse muchos tipos de sistemas disipativos utilizando geometría simpléctica si permitimos Hamiltonianos complejos, véase S.G. Rajeev's artículo .
Por último, quiero señalar que en la terminología de la geometría simpléctica hay una distinción entre campos vectoriales simplécticos y hamiltonianos, mientras que un campo vectorial simpléctico se requiere para dejar invariante la estructura simpléctica, un campo vectorial hamiltoniano se requiere además para producir una forma exacta a la contracción con la forma simpléctica. Por ejemplo, los campos vectoriales a lo largo de los generadores del dos-toro son simplécticos pero no hamiltonianos. Esta distinción sólo existe si la variedad simpléctica no es simplemente conexa.
No toda la mecánica clásica puede describirse mediante la geometría simpléctica. Los cuerpos rígidos necesitan variedades de Poisson.
@Arnold Por supuesto, pero la geometría simpléctica sigue siendo importante incluso dentro de la geometría de Poisson (creo que esta es la razón por la que no tienen una clasificación temática Arxiv de la geometría de Poisson). El ejemplo de cuerpo rígido que has puesto se puede formular sobre la variedad simpléctica $T^*SO(3)$ (ángulos de Euler + momentos angulares), entonces Poisson reduce a $\mathbf{so(3)^*}$ una variedad no simpléctica de Poisson, pero en realidad la dinámica tiene lugar en una única órbita coadjunta: $S^2$ de nuevo una variedad simpléctica.
Entonces se necesita un ejemplo más complejo. La geometría natural del fluido perfecto también es Poisson, no simpléctica. ¿O se puede describir un fluido perfecto en términos de geometría simpléctica?
Dada una estructura simpléctica, se producen algunos resultados asombrosos. Esto se ve más obviamente en la Mecánica Clásica como dice el sitio Wiki.
Por ejemplo, al hablar del movimiento de las partículas, nos lleva al espacio de fase, que es el haz cotangente $T\approx\mathbb{R}^6$ en $\mathbb{R}^3$ y este haz lleva naturalmente una estructura simpléctica.
Una vez que tengas esa estructura, entonces (como dice Wiki textualmente):
Cualquier función diferenciable de valor real, en una variedad simpléctica, puede servir como función de energía o Hamiltoniano.
Ahora puedes hablar de flujos gradientes (como en dinámica de fluidos), y de algunos enunciados de conservación como el teorema de Liouville.
Pero sí, lo más positivo es que ahora puedes echar mano de una ecuación diferencial que predice el comportamiento futuro de tu sistema.
¿Por qué merece la pena mencionar que algo es simpléctico?
Esta pregunta es un poco como preguntar por qué merece la pena mencionar que hay un campo eléctrico en la habitación.
Como característica importante, señalaría que si tienes una estructura simpléctica, tienes una Álgebra de Poisson . Esto significa que no sólo las funciones $$f:P\in \mathcal M\ \longrightarrow\ f(P)\in\mathbb{R}$$ en su colector hacer cosas como
$$(f,g,h,P)\ \longrightarrow\ f(P)g(P)+h(P),$$
sino también como
$$(f,g,P)\ \longrightarrow\ \{f,g\}(P).$$
En consecuencia, si añades una estructura simpléctica en tu álgebra de funciones, se producen algunos resultados asombrosos. Observa que tanto la estructura como el colector que consideres pueden ser salvaje Pero el paréntesis de Possion tiene algunas cualidades que son ciertas en general.
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