Prueba de existencia de un surjection $2^{\aleph_0} \to \aleph_1$ sin AC

Question

Estoy bastante seguro de que me estoy perdiendo algo obvio, pero me parece que no puede salir el siguiente problema (búsqueda en la web indica que se tiene una solución, pero no he podido encontrar uno, por lo tanto, la formulación):

Demostrar que existe un surjection $2^{\aleph_0} \to \aleph_1$ sin usar el Axioma de Elección.

Por supuesto, este surjection es muy trivial utilizando CA (bien de orden $2^{\aleph_0}$). He estado mirando un poco alrededor, pero una obvia incursión como la inyección de $\aleph_1$ a $\Bbb R$ en una orden de preservación de la forma es imposible.

Consejos y sugerencias son muy apreciados.

Answer 1

En lo que sigue, por un "real", me refiero a un subconjunto de $\omega\times\omega$, es decir, una relación binaria en $\omega$. (Usted puede comenzar con un bijection $\pi:\mathbb R\to\mathcal P(\omega\times\omega)$, que puede ser construido sin la opción, así que esto está muy bien).

Si esta relación es un orden bien de $\omega$ en orden tipo $\omega+\alpha$, mapa de lo real a $\alpha$. De lo contrario, asignar el verdadero a $0$. Este mapa es un surjection.

Por cierto, sin opción, usted no puede inyectar $\aleph_1$ $\mathbb R$.

Answer 2

Una de mis formas favoritas es fijar una biyección entre $\Bbb N$ y $\Bbb Q$, decir $q_n$ $n$ th racional.

Ahora nos mapa $A\subseteq\Bbb N$ $\alpha$ si $\{q_n\mid n\in A\}$ tiene orden tipo $\alpha$ (ordenado con el orden usual de los racionales) y $0$ lo contrario.

Porque cada ordinal contable puede ser embebido en los racionales, cada $\alpha<\omega_1$ podemos encontrar un subconjunto $\{q_i\mid i\in I\}$ que es isomorfo a $\alpha$, y por lo tanto se asigna $I$ $\alpha$. Por lo tanto tenemos un surjection en $\omega_1$.