Continuidad Lipschitz de una integral

Question

Dejemos que $(E,d)$ sea un espacio métrico, $\mathscr E$ sea su Borel $\sigma$ -y el álgebra $\mu$ ser un $\sigma$ -medida finita en $(E,\mathscr E)$ . Dejemos que la función $p:E\times E\to\mathbb R_+$ ser no negativo y medible conjuntamente: $p\in\mathscr E\otimes \mathscr E$ . Supongamos que para cualquier conjunto compacto $A\subset E$ hay una constante $\lambda_A$ tal que $$|p(x'',y) - p(x',y)|\leq \lambda_A\cdot d(x',x'')\text{ for all }x',x''\in A,y\in E \tag{1}$$ y supongamos que $$\int\limits_E p(x,y)\mu(\mathrm dy) = 1 \tag{2}\text{ for all }x\in E.$$

Evidentemente, si $A$ es compacto, entonces $P(x,B):=\int\limits_B p(x,y)\mu(\mathrm dy)$ es Lipschitz en $A$ siempre que $\mu(B)<\infty$ : $$|P(x'',B) - P(x',B)|\leq \lambda_A\cdot\mu(B)d(x'',x').$$ ¿La continuidad Lipschitz de $P(x,B)$ también aguanta $A$ si $\mu(B)=\infty$ ?

Answer 1

La continuidad de Lipschitz puede fallar si $\mu(B) = \infty$ . Por ejemplo $E = \mathbb{R}$ , $\mu$ para ser la medida de Lebesgue y definir $p(x,y) = \max\{0,y^{-2}-|x|\}$ para $y >1$ y convenientemente para $y\le 1$ para que se cumplan (1) y (2). Sea $B = [1,\infty)$ . Entonces $P(\cdot,B)$ no es Lipschitz en $0$ : $P(0,B) = 1$ y $$P(x,B) = \int_1^{1/\sqrt{|x|}}\frac1{y^2}-|x|\,dy = 1-2\sqrt{|x|}+|x|.$$