¿Existe un grupo finito G y un subgrupo normal N de G que G/N es un grupo simple y no es isomorfo a cualquier subgrupo de G G/N?
Respuesta
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Sí, el perfecto grupo $\operatorname{SL}(2,5)$ de la orden de 120 es uno. Por Cauchy teorema de no encontrar un ejemplo con $G/N$ abelian, así que esto es más o menos el ejemplo típico. Quieres un no-división de extensión, y usted probablemente querrá $N$ a ser pequeñas para evitar casualmente contengan $G/N$. Una buena manera de hacer esto son los no-simple cuasi-simple grupos.
Si $G/Z(G)$ no es abelian simple, y $H \leq G$ es tal que $H \cong G/Z(G)$,$H \cap Z(G) \leq Z(H) = 1$, por lo que tenemos un semi-producto directo de la $H$$Z(G)$, pero este tipo de semi-producto directo es directo desde $Z(G)$ es central, por lo tanto $G \cong G/Z(G) \times Z(G)$.
Todo lo que necesitamos entonces es para $Z(G) \leq [G,G]$, es decir, para $G$ a un ser perfecto, por lo que el $G$ es cuasi-simple.
Hay ejemplos que no son cuasi-simple. Sería bueno ver una prueba de que todos ellos tienen una (que no simple) cuasi-simple subquotient, por lo que en este ejemplo es "típico".
