SL(2,Z/N)-descomposición del espacio de las formas de cambio de signo de Gamma(N)

Question

Como es normal en $\Gamma(N)$ $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$, el cociente grupo $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}/N)$ actúa sobre los espacios de cúspide formas $S_k(\Gamma(N))$. ¿Cómo descomponer estos espacios en representaciones irreducibles?

Puedo hacer el caso $N=2$. Me interesa sobre todo en el caso de $N$ un primer.

Answer 1

Como de costumbre, una vez que localizo una pregunta aquí tengo nada útil que decir acerca, alguien ya ha respondido.

Puedo resumir en que parte de mi tesis de esta manera: supongamos que M es la inducida por la representación de los caracteres (a-I) --> (-1)^k de el centro para todos los de SL(2,Z/NZ). Luego S_k(Gamma(N)) es aproximadamente k/12 copias de M, además de algunas término de error, que puede ser determinada con precisión, con un poco de esfuerzo.

Al preguntar acerca de las formas modulares de Hilbert sobre una totalmente real campo K, el "1/12" se convierte en el valor absoluto de zeta_K(-1).

Answer 2

Ver Teorema 1.0.3 de de Jared Weinstein tesis (usa equivariante Riemann Roch).

Answer 3

Usted puede casi hacer esto con nada más que Riemann-Hurwitz; en particular, por R H usted puede calcular la acción de SL_2(Z/NZ) en H_1(X(N),C), que es simplemente la suma de la representación que desea con su doble.

Answer 4

Si usted piensa acerca de esta cuestión en términos de automorphic representaciones luego se vuelve trivial. El espacio de $Sk(\Gamma(N))$ puede ser re-interpretada como la suma directa de $\pi^{U(N)}$ donde $\pi$ está ejecutando a través de la automorphic representaciones de $GL_2$ cuales son holomorphic de peso $k$. Cada factor es $SL(2,Z/NZ)$-invariante y, a menudo, irreductible, pero a veces tiene pequeños longitud finita. La representación de la $SL(2,Z/NZ)$ que se muestra en $\pi{^U(N)}$ es el "tipo" de $\pi$. Para explícita $\pi$s uno será capaz de determinar explícitamente esta representación.