¿Cómo resolver este complicado problema de la integral doble?

Question

He escrito esto de manera que sea lo menos confuso posible. Empezaré describiendo mi problema y os guiaré a través de mi pregunta,

Tengo una integración doble que estoy tratando de resolver de la siguiente forma,

$$F=\int\limits_{0<\gamma_1<\gamma_2<+\infty} \mathcal{L}\bigl(\sum_{i=1}^2\gamma_i^{-1} \bigl)\ g(\gamma_1,\gamma_2)\ d\gamma_1 d\gamma_2$$

donde $$\mathcal{L}(t) = \text{exp}\left(- \int_{\gamma_2}^\infty (1- \frac{1}{1+t \ x^{-1}})\ h(x)\ dx\right) $$ Supongamos ahora que $h(x)$ es una expresión muy compleja, te digo que $\mathcal{L(t)}$ no puede integrarse en forma cerrada analíticamente y debe resolverse numéricamente.

Así que para resolver mi problema tengo que tomar valores numéricos de $t$ para integrar numéricamente. Pero fíjate que para resolver mi integración principal $F$ definido anteriormente, necesito establecer $$t=\sum_{i=1}^2\gamma_i^{-1} $$ y luego integrar numéricamente para obtener $L\bigl(\sum_{i=1}^2\gamma_i^{-1} \bigl)$ tomando valores numéricos de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ .

Ahora que he tomado valores numéricos de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ para resolver mi $\mathcal {L}(t)$ . Mi integral interna es entonces valores numéricos para ciertos valores de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ que elegí.

Mi pregunta es, ya que me vi obligado a tomar ciertos valores de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ para resolver mi función no integrable $\mathcal{L}(t)$ - ya que resulta que por $t$ es una función de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ . ¿Cómo procedería para resolver mi función $F$ ? ¿Estoy obligado ahora a integrar numéricamente sobre los mismos valores de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ Elegí resolver para $\mathcal{L}(t)$ ?

En general, ¿cree que esta forma de analizar un problema de este tipo es correcta? ¿Alguna idea mejor para abordar este problema? por ejemplo, aproximaciones/

Gracias

Answer 1

Dado que la integral interna incluida en $\mathcal{L(t)}$ no puede determinarse de forma cerrada y debe resolverse por métodos numéricos, la integral exterior doble incluida en $F$ tiene que ser resuelto numéricamente también. El cálculo de la integral interna permite obtener una tabulación de los valores de $\mathcal{L(t)}$ para varios valores de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ . A partir de esta tabulación, una técnica de técnica de integración numérica para calcular $F$ también.

Los métodos comúnmente utilizados en este contexto (por ejemplo, las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes) suelen aproximar la integral de una función $f(x)$ mediante la estimación de varios polinomios de grado, a partir de valores numéricos de $x$ y $f(x)$ tabuladas a intervalos regulares. Por lo tanto, como se señala correctamente en el PO, es necesario integrar numéricamente sobre los mismos valores de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ elegido para resolver $\mathcal{L}(t)$ . Desde este punto de vista, es conveniente elegir $\gamma_1$ y $\gamma_2$ valores eligiendo intervalos regulares, cuya dimensión debe ser predefinida en función del nivel de precisión deseado.

Para resolver el problema de la integración en un dominio infinito, se podría considerar la posibilidad de mapear el intervalo infinito a un intervalo finito utilizando una sustitución adecuada, es decir, eligiendo una función de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ que va al infinito en un rango finito (por ejemplo $\tan\gamma_i$ , $\cot \gamma_i$ u otros).