Cómo demostrar este $\cot(\pi/15)-4\sin(\pi/15)=\sqrt{15}$

Question

Yo necesito ayuda con esta demostración, por favor

He probado con algunas identidades pero nada.

Quise utilizar este %#% $ #%

Answer 1

Podemos probar: % $ $$ \cos\frac{\pi}{15}-4\sin^2\frac{\pi}{15}=\sqrt{15}\sin\frac{\pi}{15} $por la cuadratura de ambos lados. Por ajuste $\theta=\frac{\pi}{15}$, que conduce a:

$$ \frac{13}{2}-2\cos(\theta)-\frac{15}{2}\cos(2\theta)+2\cos(3\theta)+2\cos(4\theta) = \frac{15}{2}-\frac{15}{2}\cos(2\theta)$ $ a: %#% $ #% por lo que solo tenemos que probar que $$ -\cos(\theta)+\cos(3\theta)+\cos(4\theta) = \frac{1}{2} $ es una raíz de: %#% $ #% que se desprende fácilmente: $\cos(\theta)$ $

Answer 2

Si $\cot A-4\sin A=\pm\sqrt{15}$

Multiplicando ambos lados por $\sin A$, lo que es claramente $\ne0,$

$\pm\sqrt{15}\sin A=\cos A-4\sin^2A=\cos A-4(1-\cos^2A)$

$\pm\sqrt{15}\sin A=4\cos^2A+\cos A-4$

El cuadrado ambos lados, $15(1-\cos^2A)=(4\cos^2A+\cos A-4)^2$

$\iff16\cos^4A+8\cos^3A-16\cos^2A-8\cos A+1=0\ \ \ \ (1)$

$\dfrac\pi{15}=12^\circ$ y $\cos5\cdot\left(12^\circ\right)=\dfrac12$

y $\cos5y=16\cos^5y-20\cos^3y+5\cos y$

y $\cos5y=\dfrac12=\cos60^\circ$

$\implies5y=360^\circ m\pm60^\circ\iff y=72^\circ m\pm12^\circ$ donde $m$ es cualquier entero

Así, las raíces de $16\cos^5y-20\cos^3y+5\cos y=\dfrac12\iff32\cos^5y-40\cos^3y+10\cos y-1=0$

se $\cos y$ donde $y=72^\circ m+12^\circ$ donde $m\equiv0,1,2,3,4\pmod5$

Pero $\cos\left[72^\circ\cdot4+12^\circ\right]=\cdots=\dfrac12$

Ahora $\dfrac{32\cos^5y-40\cos^3y+10\cos y-1}{2\cos y-1}=16\cos^4y+8\cos^3y-16\cos^2y-8\cos y+1$

Así, las raíces de $16\cos^4y+8\cos^3y-16\cos^2y-8\cos y+1=0\ \ \ \ (2)$ (que es lo mismo que $(1)$)

se $\cos y$ donde $y=72^\circ m+12^\circ$ donde $m\equiv0,1,2,3\pmod5$

Ahora $\sin\left[72^\circ\cdot1+12^\circ\right]>0$ y $\cot\left[72^\circ\cdot1+12^\circ\right]<\cot60^\circ<\sqrt{15}$

$\sin\left[72^\circ\cdot2+12^\circ\right]=\cdots=\sin24^\circ$ y $\cot\left[72^\circ\cdot1+12^\circ\right]=\cdots=-\cot24^\circ<0$

$\implies\cot\left[72^\circ\cdot m+12^\circ\right]-4\sin\left[72^\circ\cdot m+12^\circ\right]=-\sqrt{15}$ $m\equiv1,2$

$\sin\left[72^\circ\cdot3+12^\circ\right]=\cdots=-\sin48^\circ<0$ y $\cot\left[72^\circ\cdot3+12^\circ\right]=\cot48^\circ>0$

$\implies\cot\left[72^\circ\cdot m+12^\circ\right]-4\sin\left[72^\circ\cdot m+12^\circ\right]=\sqrt{15}$ $m\equiv0,3$

Answer 3

Considerar la ecuación $$\tan5\theta=\tan\dfrac{\pi}{3}$$ which has $5$ principle solutions $$\theta=\dfrac{n\pi}{5}+\dfrac{\pi}{15}\,\,\,\,\,\,\,\,n=0, 1, 2, 3, 4.$$ Therefore $\tan\dfrac{\pi}{15}$ is a root of the equation $$t^5-5\sqrt3t^4-10t^3+10\sqrt3t^2+5t-\sqrt3=0.$$ If we can find $\tan\dfrac{\pi}{15}$ using above equation we just have to show that $$\dfrac{1}{t}-\dfrac{4t}{\sqrt{t^2+1}}=\sqrt{15}.$$ After solve the above equation, I got that $$\color{Green}{\tan\dfrac{\pi}{15}=\sqrt{23-10\sqrt5-2\sqrt{255-114\sqrt5}}=\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt{15}}{2}-\dfrac{\sqrt{50-22\sqrt5}}{2}}.$$