Partición de forma unidad y volumen en un múltiple

Question

Un suave colector $M$ es orientable si existe un lugar que se desvanece la parte superior del formulario (es decir, la forma de volumen). En un gráfico de coordenadas $U\subset M$ podemos encontrar una forma de volumen de más de $U$ que corresponde al volumen estándar formulario de $\operatorname{vol} = dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$$\mathbb{R}^n$.

Mi pregunta es, ¿por qué no podemos simplemente usar una partición de la unidad en el colector de pegar estos locales volumen de las formas? I. e. dada una partición de la unidad $\{\rho_i\}$ subordinada a atlas $\{(U_i, \phi_i)\}$, ¿por qué no podemos decir que $\sum_i\rho_i\phi_i^*(\operatorname{vol})$ define un volumen global de formulario en $M$? (de la misma manera que podemos demostrar la existencia de una métrica de Riemann en cualquier colector: definir localmente $g_i$ a, por ejemplo, la métrica Euclidiana, a continuación, $g=\sum_i\rho_ig_i$ es una métrica en $M$)

Answer 1

Supongamos que $p \in U_1\cap U_2$ y $\rho_1(p)\phi_1^*(\operatorname{vol})_p + \rho_2(p)\phi_2^*(\operatorname{vol})_p \in \bigwedge^nT_p^*M$ tener en cuenta. Mientras que $\phi_1^*(\operatorname{vol})_p$ y $\phi_2^*(\operatorname{vol})_p$ son elementos distintos de cero de $\bigwedge^nT_p^*M$, podrían ser negativos múltiplos uno del otro, en cuyo caso $\rho_1(p)\phi_1^*(\operatorname{vol})_p + \rho_2(p)\phi_2^*(\operatorname{vol})_p$ podría ser cero.

Por ejemplo, considere el colector $S^1$. Let $U_1 = S^1\setminus\{1\}$, $\phi_1 : U_1 \to (0, 2\pi)$, $e^{i\theta}\mapsto \theta \bmod{2\pi}$, and $U_2 = S^1\setminus\{-1\}$, $\phi_2 : U_2 \to (-\pi, \pi)$, $e^{i\theta} \mapsto \pi - \theta \bmod{2\pi}$. Entonces $\phi_1^*(dx) = d\theta$ y $\phi_2^*(dx) = d(\pi - \theta) = -d\theta$ % que $\rho_1(p)\phi_1^*(dx)_p + \rho_2(p)\phi_2^*(dx)_p = (\rho_1(p) - \rho_2(p))d\theta$que es igual a cero cuando $\rho_1(p) = \rho_2(p) = \frac{1}{2}$.

Answer 2

Una combinación convexa de formas de volumen podría llegar a ser cero, violando la condición de desaparición en ninguna parte. Por ejemplo, $$\frac{1}{2}dx \wedge dy + \frac{1}{2}(-dx) \wedge dy = 0$ $

Esto es realmente exactamente lo que sucederá si se intenta hacer el procedimiento propuesto en una tira mobius con parametrización estándar.

Por el contrario, en cada punto de una métrica corresponde a una matriz definida positiva (o más generalmente), y las combinaciones convexas de matrices definidas positivas se positiva definida.