Supongamos que una secuencia $x=(x_n)$ pertenece tanto a $\ell^p$ y $\ell^q$ ( $p,q>1$ , $p\neq q$ ). ¿Existe alguna desigualdad entre $\|x\|_p$ y $\|x\|_q$ . ¿Se puede $\ell^p$ estar continuamente incrustado en otro $\ell^q$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $1 \leq p \leq q \lt \infty$ entonces $\|x\|_{q} \leq \|x\|_{p}$ y claramente $\|x\|_p \geq \|x\|_\infty$ . En particular, $\ell^p$ se incrusta continuamente en $\ell^q$ siempre que $p \leq q$ .
Para ver esto, observe que ambos lados de la desigualdad $\|x\|_{q} \leq \|x\|_{p}$ son homogéneos en $x$ (multiplicando $x$ con un número real positivo multiplica ambos lados con el mismo factor positivo), por lo que podemos tomar sin pérdida de generalidad un $x$ con $\|x\|_{p} = 1$ . Entonces $\|x\|_{q}^{q} = \sum_{j = 1}^{\infty} |x_{j}|^{q} \leq \sum_{j = 1}^{\infty} |x_{j}|^{p} = 1$ y esto es porque para $t \leq 1$ y $p \leq q$ tenemos $t^{q} \leq t^{p}$ .
Esto significa que $p \mapsto \|x\|_p$ es decreciente. En términos de espacios, tenemos las inclusiones $\ell^1 \subset \ell^p \subset \ell^q \subset \ell^{\infty}$ siempre que $1 \lt p \lt q \lt \infty$ y no es difícil demostrar que las inclusiones son todas estrictas.
Obsérvese que esto es opuesto al caso de finito espacios de medida $(\Omega,\mu)$ donde las inclusiones van al revés: $L^1(\Omega,\mu) \supset L^p(\Omega,\mu) \supset L^{q}(\Omega,\mu) \supset L^{\infty}(\Omega,\mu)$ .
Ver también la página de Wikipedia sobre $L^p$ -espacios .
