Correspondencia de formas y campos del Vector diferencial

Question

Barrett O'Neill de la Geometría Diferencial que dice el libro Clásico del análisis vectorial evita el uso de formas diferenciales en $\mathbb{R}^3$ por la conversión de 1-formas y de 2 formas en campos vectoriales a través de la siguiente 1-1 correspondencias:

$$\begin{array}{*5c}\text{(1-form)} &\leftrightarrow &\text{Vector field}& \leftrightarrow& \text{(2-form)}\\ \sum f_idx_i &\leftrightarrow &\sum f_iU_i &\leftrightarrow &f_1dx_2dx_3 -f_2dx_1dx_3+f_3dx_1dx_2\end{array} $$

donde $U_i$ denotar la natural coordinar los campos vectoriales que constituyen un ortonormales marco.

Yo superfically captar la primera correspondencia a pesar de la motivación que se me escapa, como siempre he pensado de una 1-forma como el doble de un campo vectorial en el que en cada punto del colector; la forma se asocia a un funcional lineal sobre un vector tangente en ese punto, mientras que el campo de Vectores en realidad le da el vector tangente.

En cuanto a la segunda , todavía no estoy capaz de visualizar de 2 formas como cualquier cosa pero funcionales en un par de vectores tangente y la correspondencia no es natural.

O'Neill utiliza esta para enmarcar el Rizo y el Gradiente y Divergencia de las definiciones en el lenguaje de las formas. Podría alguien explicar la necesidad de esta, así como una buena manera de visualizar de dos formas y en mayor grado en la misma manera como 1-formas???

Answer 1

En el siguiente voy a dar algunos interpretación física de las identificaciones mencionadas en el libro.

En física tenemos campos de fuerza ${\bf F}$ y de los campos de flujo ${\bf v}$. Con el fin de visualizar los campos dibujamos en ambos casos las pequeñas flechas (vectores), conectados a los puntos de ${\bf x}$ en el dominio $\Omega\subset{\mathbb R}^3$. Pero matemáticamente no hay una gran diferencia entre los dos: la Fuerza de los campos están integrados a lo largo de las curvas, el resultado de la labor realizada, y de los campos de flujo son integrados a través de las superficies. En el segundo caso el resultado es la cantidad de fluido que atraviesa la superficie por segundo.

Un campo de fuerza ${\bf F}=(F_1,F_2,F_3)$ es el mismo que el $1$forma $\alpha$ definido por $$\alpha({\bf X}):={\bf F}\cdot{\bf X}=F_1 X_1+F_2X_2+F_3X_3\ ,$$ y como $X_i=dx_i({\bf X})$ podemos escribir$$\alpha=F_1dx_1+F_2dx_2+F_3dx_3\ .$$ In this way for any curve $\gamma:\ t\mapsto{\bf g}(t)$ $\>(a\leq t\leq b)$ in $\Omega$ uno tiene $$\int\nolimits_\gamma \alpha=\int\nolimits_\gamma {\bf F}\cdot d{\bf x}=\int_a^b{\bf F}\bigl({\bf g}(t)\cdot{\bf g}'(t)\bigr)\ dt\ .$$

Por otro lado, dado un campo de flujo ${\bf v}$ y una orientada a la superficie de $$S:\ (u,v)\mapsto {\bf f}(u,v)\in\Omega\qquad\bigl((u,v)\in B\bigr)\ ,$$ donde $B\subset{\mathbb R}^2$ es el parámetro de dominio, la cantidad (volumen) de líquido que fluye a través de $S$ por segundo está dada por $$\int\nolimits_S{\bf v}\cdot d{\bf \omega}=\int\nolimits_B {\bf v}\bigl({\bf f}(u,v)\bigr)\cdot\bigl({\bf f}_u(u,v)\times{\bf f}_v(u,v)\bigr)\ {\rm d}(u,v)\ .$$ Aquí el campo de vectores ${\bf v}$ se convierte en un $2$forma $\beta$ a través de $$\beta({\bf X},{\bf Y}):={\rm vol}({\bf v},{\bf X},{\bf Y})={\bf v}\cdot\bigl({\bf X}\times{\bf Y}\bigr)\ ,$$ donde el $3$forma ${\rm vol}$ es el estándar de volumen-la forma en la ${\mathbb R}^3$.

Answer 2

Para la primera correspondencia de la nota, que por el interior del producto en $\mathbb R^3$ tenemos un 1-1-correspondencia lineal de las formas $\mathbb R^3 \to \mathbb R$ y vectores en $\mathbb R^3$ donde $v \in \mathbb R^3$ corresponde a $w \mapsto \left<v,w\right>$. Este corresponcence aplicado pointwise - assiociates a un campo de vectores $\sum_{i} f_i U_i$ (donde $U_i$ denotar la constante de coordenadas ortogonales marco?) la forma $\sum_i f_i \, dx_i$.

Para el segundo, tomamos nota de que, dado un 2-formulario de $\omega$, tenemos un mapa a partir de 1-formas 3-formularios suministrados por $\eta \mapsto \omega \wedge \eta$, mientras que el 3-formularios de un módulo de clasificar a una más de las funciones, yo. e. cada uno de los tres formulario es de la forma $f\, dx_1\,dx_2\, dx_3$, tenemos un mapa a partir de 1-formas a las funciones, que es funcional en las 1-formas, que pueden ser representados (el bidual de las funciones son funciones) por un campo de vectores. Ahora condsider la 2-forma $$ \omega = f_1\, dx_2 \,dx_3 - f_2\, dx_1 \, dx_3 + f_3 \, dx_1\, dx_2 $$ Tenemos \begin{align*} \omega \wedge dx_1 &= f_1\; dx_1\, dx_2\, dx_3\\ \omega \wedge dx_2 &= -f_2\; dx_2\, dx_1\, dx_3\\ &= f_2\; dx_1\, dx_2\, dx_3\\ \omega \wedge dx_3 &= f_3\; dx_1\, dx_2 \, dx_3 \end{align*} por lo $\omega$ actúa sobre las 1-formas de la misma manera como $\sum_i f_i\, U_i$.

Answer 3

Permítanme darles una perspectiva geométrica de álgebra y cálculo.

El álgebra geométrica, o álgebra de clifford, impone un "geométrica", producto de vectores. Si $a, b, c$ son vectores, entonces se $a(b+c) = ab + ac$, e $(ab)c = a(bc) = abc$, por lo que es asociativa y distributiva (y varios vectores, puede estar involucrado en una serie de productos).

Así, el general de los objetos de un álgebra geométrica se llama multivectors. Componentes de un multivector a menudo se separan en láminas, donde una hoja de grado $k$ puede ser escrito como algunos geométrica del producto de $k$ vectores ortogonales. Como es de esperar, cuando la base del espacio vectorial de las GA es $\mathbb R^3$, entonces hay sólo 4 grados a considerar: grado 0 (escalares), grado 1 (vectores), grado 2 (apodado "bivectors"), y grado 3 ("trivectors," o en 3d, también llamado "pseudoscalars").

Así que usted puede ver ya que existe una relación entre los grados de multivectors y 0, 1, 2, y 3-formas. Un álgebra geométrica generalmente identifica los formularios con los vectores a través de la costumbre interior de la estructura del producto: si $w$ es una 1-forma y $v$ es un 1-vector, a continuación, $w(v) \equiv w \cdot v$ es sólo el producto escalar. (Sí, tal vez la $w$ a la derecha no es exactamente el mismo tipo de cosa como la $w$ a la izquierda, pero no soy consciente de lo que la notación estándar podría ser para este concepto). Mientras que $k$-vectores y $k$-formas todavía puede ser dicho para transformar de manera diferente bajo transformaciones de coordenadas, ambos están siendo considerados para ser elementos de la misma álgebra geométrica.

Así que, después de haber acabado con una capa de distinción entre el $k$-vectores y $k$-formas, podemos centrarnos en cómo tradicionales de cálculo vectorial se sale sólo con el uso de campos escalares y vectoriales. Como se ha dicho, la clave aquí es la dualidad.

En el diferencial de las formas del lenguaje, esto tiene que ver con la estrella de Hodge. En GA lenguaje, esto tiene que ver con la pseudoscalar, que generalmente se llama $i$. En 3d, $ii = i^2 = -1$, por lo que la notación es sugerente. La multiplicación por $i$ cambiado el grado de lo que actúa sobre. Si $u = u_k$ $k$- vector, a continuación, $iu_k$ $3-k$ vector. Por lo $i$ convierte vectores para bivectors, escalares a pseudoscalars. Esta dualidad hace que sea posible describir la $2,3$-vectores en términos de sus dual $0,1$-vectores-que es, en su totalidad, en términos de los vectores y escalares.

Geométricamente, usted puede imagen 2-vector campo como un campo de orientado a los aviones a través del espacio. El vector dual campo es un campo vectorial de las normales a los planos. Del mismo modo, un 3-vector campo es un campo de orientado volúmenes, pero desde todos los volúmenes son múltiplos escalares de uno a otro, de un campo escalar contiene la misma información (aunque no es absolutamente el mismo geométricamente).