No dices de dónde salió mal, así que aquí es un esquema de
lo que yo creo que el ejercicio requiere que usted haga. Esto es exactamente como se describe
en el capítulo sobre la igualada expansiones asintóticas.
Ya tienes la solución exterior
$1-A|\frac14-x|^{1/2}|\frac34-x|^{-3/2}$. Estilística nota: es más fácil
para escribir la solución general en la forma
$$ -3\left|\frac {- x}{a}\right|^{a/\alpha}
\left|\frac{b-x}{b}\right|^{b/\alpha}, $$
donde $\alpha=b-a$.
Si la primera capa límite,
es en $x=a$, luego de introducir una nueva variable $\bar
x=(x-\frac14)/\epsilon^\alpha$, y el sustituto de la
$$ y = 1 + Y(\bar x), $$
junto con el cambio de variable independiente a $\bar x$. (La adición de
$1$ hace que la ecuación lineal.) El uso de
$\frac{d}{dx}=\epsilon^{-\alpha}\frac{d}{d\bar x}$ e $x=a + \bar
x\epsilon^\alpha$, the resulting equation (in $\bar x$)
$$ \epsilon^{1-2\alpha}Y" -\bar x \epsilon^{\alpha}(a+\bar
x\epsilon^{\alpha}-b)\epsilon^{-\alpha}Y'-(a+\bar x\epsilon^\alpha)Y =
0. $$
Que requieren $\epsilon^{1-2\alpha}Y''$ a ser el mismo orden en $\epsilon$
como el otro más alto de los términos de orden, que se $\epsilon^0$, atribuye la condición de
$\alpha=\frac12$, y la ecuación al líder de la orden:
$$ Y'' + \frac12\bar x Y'-\frac14 Y = 0, $$
con $\alpha=\frac12$, y se puede resolver esto mediante Kummer funciones.
El libro también amablemente le da asymptotics para Kummer funciones. El
la solución es de la forma
$$ Y = A_0 M(-1/4, 1/2, -\eta) + B_0 \bar x M(1, 3/2, -\eta), $$
donde $\eta = -\frac14\bar x^2$. Entonces como $\bar x\to\pm\infty$, el
asintótica forma de la solución es interior
$$ Y \sim \sqrt\pi\left(\frac{A_0}{\Gamma(\frac34)}\pm
\frac{B_0}{\Gamma(\frac54)}\right) \eta^{1/4}. $$
Este asintótica, debe corresponder a $Y\sim y$ ($\bar x\to-\infty$),
y a $Y\sim 0$ ($\bar x\to+\infty$). Cuando la coincidencia de la solución a
$y$, es necesario introducir una variable intermedia $x_\rho =
(x-\frac14)/\epsilon^\rho$, with $0<\rho<\frac12$, de modo que
$x=\frac14+x_\rho\epsilon^\rho$, y $\bar x =
x_\rho\epsilon^{\rho-1/2}$. These two matches give you $A_0$ and $B_0$
en términos de la constante en el exterior de la solución de $A$ también $\epsilon$.
Es parecida a la de la capa límite en $x=1$. Ampliar en $\bar
x=(x-1)/\epsilon$, and using $y=1+Y(\bar x)$ da
$$ Y''-\frac3{16}Y' = 0, $$
que tiene solución $Y=A_0\bar x+B_0e^{3\bar x/16}$, lo que requiere
$A_0=0$ $B_0=1$.
Aquí es lo que parece (el rojo es la solución numérica, naranja, verde y azul son analítico):
![Matched asymptotics solution]()
Este es el código utilizado para generar la trama. Mathematica NDSolve no resolver el problema de valor de frontera en sí, ya que utiliza un método del disparo, y el problema que se plantea de esa manera es muy numéricamente mal condicionado (por ejemplo, las soluciones con $y(1)=2$ e con $y(2)=2$ son casi los mismos), por lo que este utiliza un sencillo esquema de relajación. No es muy eficiente.
Clear[s1];
s1[\[Epsilon]_?NumericQ, a_: 1/4, b_: 3/4, n_: 1000] :=
Module[{eq, y, x, k, i, h, eqs, arr, sol, yd},
h = 1/n;
eq = \[Epsilon] y''[x] - (x - a) (x - b) y'[x] - x (y[x] - 1) == 0;
eq = eq /. {
y''[x] -> yd[2, k]
, y'[x] -> yd[1, k]
, y[x] -> Subscript[y, k], x -> Subscript[x, k]};
(*yd[1,k_Integer]/;0<=k-2&&k+2<=n:=1/h{1/12,-2/3,0,2/3,-1/12}.Table[
Subscript[y, i],{i,k-2,k+2}];*)
yd[1, k_Integer] := (Subscript[y, k + 1] - Subscript[y, k - 1])/(2 h);
(*yd[2,k_Integer]/;0<=k-2&&k+2<=n:=1/h^2{-1/12,4/3,-5/2,4/3,-1/
12}.Table[Subscript[y, i],{i,k-2,k+2}];*)
yd[2, k_Integer] := (Subscript[y, k + 1] - 2 Subscript[y, k] + Subscript[y, k - 1])/h^2;
eqs = Table[eq, {k, n - 1}];
eqs = eqs /. {Subscript[y, k_ /; k <= 0] -> -2, Subscript[y, k_ /; k >= n] -> 2, Subscript[x, k_] :> k/N[n]};
arr = CoefficientArrays[eqs, Table[Subscript[y, k], {k, n - 1}]];
sol = Join[{-2}, LinearSolve[arr[[2]], -arr[[1]]], {2}];
Print@
Show[ListPlot[sol, DataRange -> {0, 1}, PlotRange -> {-2, 2},
PlotMarkers -> None, Joined -> True, PlotStyle -> Red],
Plot[1 -
3 Abs[(a - x)/a]^(a/(b - a)) Abs[(b - x)/b]^(-b/(b - a)), {x,
0, (1 + 1.*^-2) a}, PerformanceGoal -> "Quality",
Exclusions -> None, PlotStyle -> Green],
Plot[1 -
9/2 Sqrt[3/\[Pi]] \[Epsilon]^(1/4)
Gamma[3/4] Hypergeometric1F1[-1/4,
1/2, -1/4 ((x - 1/4)/Sqrt[\[Epsilon]])^2] +
9/2 Sqrt[3/\[Pi]] \[Epsilon]^(1/4)
Gamma[5/4] (x - 1/4)/Sqrt[\[Epsilon]] Hypergeometric1F1[1/4,
3/2, -1/4 ((x - 1/4)/Sqrt[\[Epsilon]])^2]
, {x, 0, b}, Exclusions -> None, PlotStyle -> Orange]
,
Plot[1 + E^((1 - a) (1 - b) (x - 1)/\[Epsilon]), {x, b, 1.1},
PlotStyle -> Blue, Exclusions -> None]
]
]
s1[0.1]
s1[0.01]
s1[0.001]
s1[0.0001]
