Número de posibilidades de obtener al menos un par de cartas de póquer

Question

La pregunta: sacando al azar una mano (5 cartas) de una baraja de 52 cartas de póquer, ¿cuál es el número de posibilidades de obtener al menos una pareja en las 5 cartas? Una pareja son dos cartas de la misma denominación.

Mi intuición es utilizar (el número total de posibilidades de una mano de póquer) - (número de manos de póquer sin pares en absoluto), lo que lleva a

$\dbinom{52}{5} - \dbinom{13}{5}\times 4^5 = 1,281,072$

y veo que se ha hecho una pregunta similar aquí .

Por otro lado, leí sobre otra solución que razonaba lo siguiente: Considerando la única pareja que está dentro de las 5 cartas: su número de denominación posible es $\dbinom{13}{1} $ y la pareja podría tener $\dbinom{4}{2}$ colores posibles; luego las otras tres cartas tienen $\dbinom{50}{3} $ .

$\dbinom{13}{1}\times\dbinom{4}{2}\times\dbinom{50}{3} = 1,528,800$

Sospecho que la segunda solución es errónea, pero no veo cómo está contando mal.

Gracias.

Answer 1

La segunda fórmula sobrecontabiliza las manos con al menos una pareja. Para ello cuenta de forma múltiple las $2$ pares de manos, el $3$ de unas manos amables, el $4$ de una mano, y las manos de full house.

Por ejemplo, el $4$ Reyes y $7$ de la mano de los diamantes se cuenta $\binom{4}{2}=6$ veces. Para el proceso se cuenta como diferente la mano que tiene el Rey de picas y el Rey de corazones, contados en el $\binom{13}{1}\binom{4}{2}$ parte, y los otros dos Reyes (contados en el $\binom{50}{3}$ parte, y la mano que tiene el Rey de picas y el Rey de diamantes (contados en la $\binom{13}{1}\binom{4}{2}$ parte), y los otros dos Reyes (contados en el $\binom{50}{3}$ parte).

Observación: La intuición detrás de su segunda fórmula probablemente es que usted encuentra el número de formas de obtener "la" pareja, y se multiplica por el número de formas de obtener las cartas restantes. Sin embargo, en los casos de sobreconteo mencionados anteriormente, no existe "la" pareja. El proceso, con $\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}^3$ funciona perfectamente para contar las manos que tienen precisamente $1$ par.

Answer 2

El primer caso es correcto.

La segunda es errónea en 5 aspectos: 1. Utilizarías (52 1) en lugar de (13 1) - la primera carta de la pareja puede ser cualquier cosa 2. Utilizarías (3 1) en lugar de (4 2) para la segunda carta de la pareja. 3. Dividirías estos por dos, para obtener todos los pares posibles. 4. 4. Multiplicarías esto por (51 3) para llegar al tipo de aproximación del que hablas.

Esto daría 1.624.350 ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=13 3 +%2851+Combination+3%29)

Sin embargo, 5. este enfoque sigue siendo erróneo, porque habrá pares en el (51 3) que se contarán dos veces.