¿es el conjunto de números racionales el grupo fundamental de un espacio?

Question

¿Que espacio camino conectado tiene grupo fundamental isomorfo al grupo de los racionales? ¿Más en general, es cada grupo el grupo fundamental de un espacio?

Answer 1

Ver la página de la Wikipedia en Eilenberg-Mac Lane espacios para una mejor instrucción: Para cada grupo $G$ $CW$-complejo $K(G,1)$ (único hasta homotopy equivalencia) tal que $\pi_1(K(G,1)) \cong G$ y $\pi_{n}(K(G,1)) = 0$ para todo $n \neq 1$. Esto también es cierto para cualquier otro valor de $1$ (cita de Mariano Suárez-Alvarez) y abelian $G$ y pruebas de estas afirmaciones se puede encontrar en casi todos los libros sobre la topología algebraica.

Un agradable y bastante explícita ejemplo de un espacio con grupo fundamental de $\mathbb{Q}$ puede ser construido a partir de la teoría de los grafos de los grupos, vea el ejercicio 6 de la página 96 de Hatcher del libro.

En 1988, Sela demostrado que no es "agradable" espacio compacto con grupo fundamental de $\mathbb{Q}$, donde agradable significa métrico compacto (por lo tanto, separable) ruta de acceso conectado y localmente ruta de acceso conectado. De hecho, el Sela ha demostrado el grupo fundamental de un buen espacio compacto es finitely genera o tiene la cardinalidad del continuo.

Answer 2

Cada grupo es el grupo fundamental de un espacio; un relativamente fácil la elección de un espacio de este tipo es la presentación complejos asociados a una presentación. En primer lugar, cada grupo $G$ tiene una presentación con algunos de los generadores de $g_i$ indexado por algunos $I$ y algunas relaciones $r_j$ indexado por algunos $J$. Deje que $X$ ser la cuña de $|I|$ círculos; por Seifert-van Kampen sabemos que $\pi_1(X) \cong F_{|I|}$.

Ahora vamos a añadir algunos $2$-celdas correspondientes a las relaciones. En primer lugar, tenga en cuenta que cada relación $r_j$ determina un homotopy clase de caminos en $X$, por lo tanto un subespacio isomorfo a $S^1$ de $X$. Asociado a dicho subespacio es una adjuntar mapa de $b_j : S^1 \B^2$, y podemos formar la contigüidad espacio $X \cup_{b_j} B^2$ en el fin de conectar el adecuado $2$-célula y matar a la relación de $r_j$ (demostrado por una segunda aplicación de Seifert-van Kampen). Hacer esto para todas las relaciones que se da en el espacio correspondiente.

Answer 3

Sí, ver Hatcher, corolario 1.28, página 52.