los poderes de singular cardenales

Question

Estoy tratando de resolver los dos problemas siguientes:

1) si $\beta <\omega_1$, $2^{\aleph_1}<\aleph_{\omega_1}$, y $\aleph_\alpha^{\aleph_0} \leq \aleph_{\alpha +\beta}$ para un conjunto estacionario de $\alpha$'s, a continuación, $\aleph_{\omega_1}^{\aleph_1} \leq \aleph_{\omega_1+\beta}$

2) si $2^{\aleph_{\omega_1+\alpha}} < \aleph_{\omega_1+\alpha+\alpha}$ todos los $\alpha <\omega_1$,$2^{\aleph_{\omega_1 + \omega_1}} < \aleph_{\omega_1 +\omega_1 +\omega_1}$.

Yo estaba tratando de demostrar que 2) mediante la modificación de Galvin-Hajnal teorema, pero me quedo atascado en un punto determinado. Tan lejos como 1) se refiere, supongo que uno tiene que ir por la contradicción, pero no veo cómo conseguir uno.

Answer 1

La primera prueba aparecen en la Introducción del Cardenal Aritmética Holz, Steffens, Weitz. La primera pregunta que aparece como un corolario a la Galvin-Hajnal teorema.

La primera pregunta es Corolario 2.3.7, que aparecen en la página 124 en la edición abierta en frente de mí. Mientras que el segundo no aparece en este formulario deduje que de similar lemas/ejercicios que aparecen en el mismo capítulo, como bien común cardenal aritmética (que aparecen en el primer capítulo del libro)

Me han dado la prueba en un relativamente autónomo formulario aquí:

Primera pregunta: Supongamos $2^{\aleph_1}<\aleph_{\omega_1}$, e $\beta<\omega_1$ de manera tal que el conjunto $\{\alpha<\omega_1\mid\aleph_\alpha^{\aleph_0}\le\aleph_{\alpha+\beta}\}$ es estacionaria en $\omega_1$$\aleph_{\omega_1}^{\aleph_1}\le\aleph_{\omega_1+\beta}$.

Por la presunción de $2^{\aleph_1}=\aleph_\xi<\aleph_{\omega_1}$ algunos $\xi<\omega_1$, por lo tanto, para $\alpha>\xi\cdot\aleph_0=\xi'$ tenemos $\aleph_\alpha^{\aleph_1}=2^{\aleph_1}\cdot\aleph_\alpha^{\aleph_0} = \aleph_\alpha^{\aleph_0}\le\aleph_{\alpha+\beta}$.

Esto significa que tanto $\aleph_{\omega_1}$ es cerrado bajo $\aleph_1$ poderes, así como la siguiente igualdad: $$\{\xi'<\alpha<\omega_1\mid\aleph_\alpha^{\aleph_0}\le\aleph_{\alpha+\beta}\} = \{\xi'<\alpha<\omega_1\mid\aleph_\alpha^{\aleph_1}\le\aleph_{\alpha+\beta}\}$$

Podemos, si es así, probar el mismo hecho sobre el lado derecho de esta igualdad. Lo hacemos mediante la definición de la función $\Phi(\alpha)$ a ser tal que $\aleph_\alpha^{\aleph_1}=\aleph_{\alpha+\Phi(\alpha)}$.

Ya que tenemos que $\aleph_{\omega_1}$ es cerrado bajo los poderes de $\aleph_1$ esta es una función de$\omega_1$$\omega_1$, y por la suposición de que tenemos que $\{\alpha<\omega_1\mid\Phi(\alpha)\le\beta\}$ es estacionaria, por lo tanto el rango de $\Phi$ es en la mayoría de las $\beta$.

Tenemos las condiciones necesarias para la Galvin-Hajnal lema, tomando la secuencia normal simplemente como $\langle \alpha\mid\alpha<\omega_1\rangle$, $\aleph_\alpha^{\aleph_1} = \aleph_{\alpha+\Phi(\alpha)}$ y, por tanto,$\aleph_{\omega_1}^{\aleph_1} \le \aleph_{\omega_1+\beta}$.

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Segunda pregunta: Si $2^{\aleph_{\omega_1+\alpha}}<\aleph_{\omega_1+\alpha+\alpha}$ todos los $\alpha<\omega_1$,$2^{\aleph_{\omega_1+\omega_1}}<\aleph_{\omega_1+\omega_1+\omega_1}$. (La suposición no puede ser cierto si $\alpha<2$. Voy a suponer que así, y va muy bien ignorar estos casos cuando digo "para todos los $\alpha$")

Por la suposición de que si $\alpha<\omega_1$ $2^{\aleph_{\omega_1+\alpha}}<\aleph_{\omega_1+\alpha+\alpha}<\aleph_{\omega_1+\omega_1}$ tenemos que éste es un fuerte límite con cofinality $\aleph_1$, y por lo tanto $\aleph_{\omega_1+\omega_1}^{\aleph_1} = 2^{\aleph_{\omega_1+\omega_1}}$.

Podemos, si es así, reducir de nuevo a la primera pregunta, aplicar el mismo argumento con $\Phi(\alpha)$ definido para ser tal que $\aleph_{\omega_1+\alpha}^{\aleph_1}=\aleph_{\omega_1+\alpha+\Phi(\alpha)}$.

Ya tenemos $\aleph_{\omega_1+\alpha}^{\aleph_1}\le 2^{\aleph_{\omega_1+\alpha}} < \aleph_{\omega_1+\alpha+\alpha}$ tenemos que $\Phi(\alpha)<\alpha$. para todos los $\alpha<\omega_1$. Por lo tanto, el rango de $\Phi$ sobre el no-estacionario ideal de $\omega_1$ algunos $\rho\le\omega_1$.

Como antes hemos por la Galvin-Hajnal lema que $\aleph_{\omega_1+\omega_1}^{\aleph_1} \le \aleph_{\omega_1+\omega_1+\rho}$.

Si $\rho<\omega_1$ hemos terminado.

De lo contrario, tenemos $2^{\aleph_{\omega_1+\omega_1}}= \aleph_{\omega_1+\omega_1}^{\aleph_1} \le \aleph_{\omega_1+\omega_1+\omega_1}$.

Esto no puede ser una igualdad ya que por Konig el lema tenemos que $\operatorname{cf}(2^\kappa)>\operatorname{cf}\kappa$, y tanto $\aleph_{\omega_1+\omega_1}$ $\aleph_{\omega_1+\omega_1+\omega_1}$ son de la misma cofinality.

Hemos de ser así que $2^{\aleph_{\omega_1+\omega_1}}<\aleph_{\omega_1+\omega_1+\omega_1}$ según sea necesario.