Hace $\sum_{n\ge1} \sin (\pi \sqrt{n^2+1}) $ ¿convergencia/divergencia?

Question

¿Cómo demostrarías la convergencia/divergencia de la siguiente serie?

$$\sum_{n\ge1} \sin (\pi \sqrt{n^2+1}) $$

Me interesan más formas de demostrar la convergencia/divergencia de esta serie. Gracias.

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Voy a publicar aquí la solución que he encontrado:

$$a_{n}= \sin (\pi \sqrt{n^2+1})=\sin (\pi (\sqrt{n^2+1}-n)+n\pi)=(-1)^n \sin (\pi (\sqrt{n^2+1}-n))=$$ $$ (-1)^n \sin \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}$$ La secuencia $b_{n} = \sin \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}$ disminuye monótonamente hasta $0$ . Como nuestra serie es una serie alterna entonces converge.

Answer 1

$$ \sum_{n\ge1} \sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right) = \sum_{n\ge1} \pm\sin\left(\pi\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\right) $$ (Identidad trigonométrica. Más adelante nos preocuparemos de " $\pm$ ".)

Ahora $$ \sqrt{n^2+1}-n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n} $$ racionalizando el numerador.

Así tenemos la suma de términos cuyos valores absolutos son $$ \left|\sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\right) \right| \le \frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n} \to0\text{ as }n\to\infty.\tag{1} $$

Pero los signos se alternan y los términos disminuyen de tamaño, por lo que esto converge. (Disminuyen de tamaño porque el seno es una función creciente cerca de $0$ y la secuencia dentro del seno disminuye).

No converge absolutamente, ya que $\sin x\ge x/2$ para $x$ pequeño y positivo, y la suma de los términos afirmados para acercarse a $0$ en $(1)$ arriba diverge a $\infty$ .

Answer 2

Converge como una serie alterna. Para cada $n$ tenemos $\sin((n+\delta)\cdot\pi)$ para algunos pequeños $\delta$ que se acerca a $0$ en el límite y disminuye monótonamente (como el $1$ en $\sqrt{n^2+1}$ es menos significativa en comparación con la $n^2$ .

Incluso para $n$ esta expresión tomará valores positivos cada vez más pequeños, ya que $\delta$ se encoge y $(n+\delta)\cdot\pi$ se acerca cada vez más a un cero en $2m\pi$ para algunos naturales $m$ de la derecha.

Del mismo modo, tomará valores negativos decrecientes para impar $n$ .

El valor absoluto de cada término tiende a $0$ y disminuye monótonamente, por lo que tenemos convergencia por la prueba de series alternas.