Encontrar máximos y mínimos de una función

Question

Un par de problemas que me están dando problemas en encontrar la relación de máximos/mínimos de la función. Creo que el problema deriva de mí, posiblemente, no de encontrar todos los números importantes de la función, pero no la puedo ver lo que me perdí.

Dado $f(x)= 5x + 10 \sin x$, he calculado la derivada como $5 + 10 \cos x$, y se encontró el primer número crítico de este trabajo:

$$5+ 10 \cos x=0$$ $$\frac{5}{5}+10 \cos x= 0-5 \Rightarrow 10 \cos x= -5$$ $$\frac{10 \cos x}{10}= \frac{-5}{10}\Rightarrow \cos x= -\frac{1}{2}$$ $$x= \arccos(-\frac{1}{2}) = \text{First critical number is }\frac{2\pi}{3}$$

Eso me dio la maxima de la fórmula, ya $$f(\frac{2\pi}{3})= 5(\frac{2\pi}{3})+10 \sin(\frac{2\pi}{3})= \frac{10\pi}{3}+5\sqrt3$$

Sin embargo, tengo la necesidad de críticos de otro número para calcular los mínimos. Debo buscar el valor de $\arccos(\frac{1}{2})$?

Answer 1

$\cos(x)=-1/2$ si y sólo si existe un entero $n$ tal que $x=2n\pi+2\pi/3$ o $x=2n\pi+4\pi/3$. Por lo tanto cualquiera de estos números reales $x$ puede ser (y de hecho, lo es) un máximo relativo o un mínimo relativo de $f$.