Evaluar $\int_0^\infty e^{-x}\sin e^{-x}\cos e^{-x} \ln e^{-x}\;dx$

Question

Cómo evaluar la siguiente integral? $$\int_0^\infty e^{-x}\sin e^{-x}\cos e^{-x} \ln e^{-x}\;dx$$

Answer 1

Teniendo en cuenta $$I=\int e^{-x}\sin (e^{-x})\cos( e^{-x}) \ln (e^{-x})\;dx$$the most natural change of variable seems to be $e^{-x}=t$. So $$I=-\int\log (t) \sin (t) \cos (t)\;dt=-\frac 12\int\log (t) \sin (2t) \;dt$$ Integrating by parts once to remove the logarithm then leads to $$I=\frac{1}{4} \log (t) \cos (2 t)-\frac{\text{Ci}(2 t)}{4}$$ and to the integral the result is $$\frac{1}{4} (\text{Ci}(2)-\gamma -\log (2))$$

Answer 2

Primera sustitución de $z=e^{-x}$ y, a continuación, integrando por partes, esta integral puede evaluarse en términos del coseno la función integral, $\operatorname{Ci}{(x)}$:

$$\begin{align} \mathcal{I} &=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin{\left(e^{-x}\right)}\cos{\left(e^{-x}\right)}\ln{\left(e^{-x}\right)}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}\sin{(z)}\cos{(z)}\ln{(z)}\,\mathrm{d}z\\ &=\left[\sin^2{(z)}\ln{(z)}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\sin{(z)}\left(\frac{\sin{(z)}}{z}+\cos{(z)}\ln{(z)}\right)\,\mathrm{d}z\\ &=-\int_{0}^{1}\frac{\sin^2{(z)}}{z}\,\mathrm{d}z-\int_{0}^{1}\sin{(z)}\cos{(z)}\ln{(z)}\,\mathrm{d}z\\ &=-\int_{0}^{1}\frac{\sin^2{(z)}}{z}\,\mathrm{d}z-\mathcal{I}\\ \implies 2\mathcal{I}&=-\int_{0}^{1}\frac{\sin^2{(z)}}{z}\,\mathrm{d}z\\ \implies \mathcal{I}&=-\frac12\int_{0}^{1}\frac{\sin^2{(z)}}{z}\,\mathrm{d}z\\ &=-\frac14\int_{0}^{1}\frac{1-\cos{(2z)}}{z}\,\mathrm{d}z\\ &=-\frac14\int_{0}^{2}\frac{1-\cos{(t)}}{t}\,\mathrm{d}t\\ &=-\frac14\operatorname{Cin}{(2)}\\ &=-\frac14\left(\gamma+\ln{(2)}-\operatorname{Ci}{(2)}\right).\\ \end{align}$$

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Nota sobre las Definiciones de:

Un par de definiciones diferentes del coseno la función integral, $\operatorname{Ci}{(x)}$, incluir,

$$\operatorname{Ci}{(x)}:=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t,$$

o,

$$\operatorname{Ci}{(x)}:=\gamma+\ln{(x)}+\int_{0}^{x}\frac{\cos{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t.$$

Por conveniencia, podemos definir también los relacionados con la función auxiliar, $\operatorname{Cin}{(x)}$,

$$\operatorname{Cin}{(x)}:=\int_{0}^{x}\frac{1-\cos{t}}{t}\,\mathrm{d}t,$$

lo que implica la relación,

$$\operatorname{Cin}{(x)}=\gamma+\ln{(x)}-\operatorname{Ci}{(x)}.$$