Determinar la convergencia de la serie armónica con un signo menos cada tercer término

Question

Quiero evaluar la siguiente suma: $$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}+\ldots$$ llame a la secuencia de $a_k$. Es decir, la serie armónica, con el signo volteado cada tercer término.

Traté de enfocar esto de dos maneras. Una forma es mediante la definición de una secuencia $b_k = \left(\frac{1}{3k-2} + \frac{1}{3k-1} -\frac{1}{3k}\right)$. Entonces, podemos ver que $\sum b_k$ es la serie $\sum a_k$ después de que nos reunimos cada tres términos. A continuación, $b_k = \frac{9k^2-2}{3k(3k-2)(3k-1)}$, e $b_k\sim \frac{1}{3}\frac{1}{k}$, y por lo tanto $\sum b_k$ diverge. Puedo concluir que $\sum a_k$ divergen?

La otra forma es mediante sumas parciales. Llegué a la conclusión de la siguiente desigualdad $$S_{3n-2} < S_{3n} < S_{3n-1}$$ Pero también, he descubierto que $S_{3n-2},S_{3n-1},S_{3n}$ están aumentando, y yo era incapaz de encontrar un límite para ellos.

Ahora, para el primer modo, es una especie de lo que implica que la serie diverge, ya que hemos aprendido en nuestra clase de cálculo que si $\sum a_n$ converge, entonces alguna manera de poner entre paréntesis, el resultado será una convergencia. En la otra forma, si una serie es creada por poner entre paréntesis en la otra serie con la limitada longitud del soporte, entonces, si es convergente, entonces la serie original converge.

¿Esta serie divergen?

Answer 1

El hecho de que $\sum b_k$ diverge es suficiente para concluir que $\sum a_k$ diverge. En efecto, si definimos el $n$-ésima suma parcial de $\sum a_k$ $$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$$ entonces $$S_{3n} = \sum_{k=1}^n b_k.$$ Si $S_n$ hizo converger a algunos límite de $L$, $S_{3n}$ también convergen al mismo límite. Pero $S_{3n}$ diverge, por lo $S_n$ divergentes así.