¿Por qué es la característica de Euler de los poderes de una línea de paquete de un polinomio en el poder?

Question

Mumford del libro Abelian Variedades afirma que para una línea de paquete de L en una variedad proyectiva (si es necesario, se puede suponer que es tan agradable como sea posible), la característica de Euler $\chi(L^k)$ del tensor de poderes de $L$ es un polinomio en a $k$. Si L es muy amplio, esto es sólo el polinomio de Hilbert, y esto puede ser demostrado por una inducción argumento de la torsión de la breve secuencia exacta $0 \to \mathcal O(-1) \to \mathcal O \to K \to 0$. Más generalmente, si $L$ (o $L^*$) es un ideal de gavilla, el mismo argumento debería funcionar. ¿Por qué el resultado todavía se mantienen para arbitrario $L$?

Edit: me gustaría estar particularmente interesado en los niveles de primaria prueba de que no implica la prueba de una totalidad de Riemann-Roch teorema--Mumford es usar este resultado para demostrar Riemann-Roch para abelian variedades!

Answer 1

En el caso de una curva de género $g$, este es el estándar de Riemann-Roch teorema, dice $\chi(L^k) = k \cdot deg(L) + 1 - g$. En las dimensiones superiores, este es un resultado de la más general de Grothendieck-Riemann-Roch teorema, aunque en el caso de que estoy a punto de estado, que se llama comúnmente la Hirzebruch-Riemann-Roch teorema. En el caso de una línea de paquete en una $n$ dimensiones proyectivas variedad, dice $\chi(L^k) = (exp(1 + k \cdot L) \cdot td(X))_n$. Aquí $td(X)$ significa que la Todd de la clase de la tangente paquete de $X$ (fija cohomology de clase) y el subíndice $n$ significa que nos tomamos el grado $n$ pieza de la expresión anterior. Si usted ampliar esto, usted va a encontrar exactamente un grado $n$ polinomio en $k$ (el polinomio de Hilbert). Una prueba se puede encontrar, por ejemplo, en Fulton del libro en la Intersección de la Teoría.

Answer 2

Ver EGA III$_1$ 2.5.3 y EGA IV$_2$ 5.3. El elegante generalización hay que incorpora un auxiliar coherente gavilla abre la puerta al uso de Grothendieck del desatornillando lema (EGA III$_1$ 3.1.2) para variar y obtener el resultado en considerablemente más generalidad: cualquier línea de paquete en cualquier esquema sobre un campo (o artin anillo local, el uso de la longitud en lugar de dimensión). El método es a través de Chow del Lema de reducir a la proyectiva caso y en última instancia el uso de métodos de rebanado en el estilo de DeLand, la respuesta a volver a la muy amplia caso.

Answer 3

OK, aquí es otra forma de verlo más en línea con lo que tenía en mente, creo. Escribe tu $L$ $\mathcal O(D)$ para algunos divisor $D$$X$. Set $J_1$ a ser el ideal de la gavilla definido por $\mathcal O(-D) \cap \mathcal O_X$ $J_2$ a ser el ideal de la gavilla definido por $\mathcal O(D) \cap \mathcal O_X$ (intersecciones dentro de $K_X$). Deje $Y_i$ ser cerrada subschemes de $X$ definido por estos ideales poleas (tienen dimensión menor que el de $X$). Luego tenemos la exacta secuencias

$$0 \to J_1(kD) \to \mathcal O(kD) \to \mathcal O_{Y_1}(kD) \to 0$$

$$0 \to J_2((k-1)D) \to \mathcal O((k-1)D) \to \mathcal O_{Y_2}((k-1)D) \to 0$$

Los dos de la mano izquierda términos son iguales por la construcción. Entonces, por la hipótesis de inducción, y la persecución de las características de Euler, $\chi(kD) - \chi((k-1)D)$ es un número polinomial. Esto implica que ese $\chi(kD)$ sí es un numérica polinómica (Sección 1.7 de Harshorne de la Geometría Algebraica).

(Aquí me barrió algo por debajo de la alfombra, porque el subschemes $Y_i$ puede no ser tan bonito como $X$ fue. Pero son al menos adecuado, y nos debe mostrar que el resultado que queremos es que para una adecuada variedad $W$, $\chi(kD)$ es polinomio por un divisor $D$. A continuación, reducir esto para el caso en que $W$ se reduce mirando la inclusión de $W_\mathrm{red}$ a $W$. A continuación, reducir aún más para el caso de que $W$ es integral.)