Comprender la prueba de " $\sqrt{2}$ es irracional" por contradicción.

Question

Tengo algunas dificultades para entender la prueba de " $\sqrt{2}$ es irracional" por contradicción. Lo estoy leyendo en el libro de Matemáticas de la 10ª clase (en la India) (disponible en línea), aquí )

Esta es la instantánea de la misma:

La prueba comienza asumiendo que $\sqrt{2}$ puede escribirse como un cociente de dos enteros y entonces que esta fracción puede reducirse a sus términos más bajos, es decir $\sqrt{2}=\dfrac ab$ donde gcd(a,b)=1 . Entonces por fin llegamos a la contradicción de que gcd $(a,b)\neq1$ . Luego dicen que debido a esta contradicción $\sqrt{2}$ no puede ser un número racional.

Lo que no entiendo es que cómo la contradicción demuestra que $\sqrt{2}$ no puede ser un número racional. La contradicción sólo demuestra que $\sqrt{2}$ no puede escribirse como el cociente de dos números coprimos. ¿Pero no podemos escribir $\sqrt{2}$ como el cociente de dos números no coprimos?

Consideremos dos afirmaciones, X e Y como:

X : $\sqrt{2}$ no puede escribirse como el cociente de dos números coprimos.

Y : $\sqrt{2}$ no puede escribirse como el cociente de dos números no coprimos.

La contradicción sólo demuestra la afirmación X y no la afirmación Y.

Supongo que podemos demostrar la afirmación Y a partir de X como: Supongamos que $\sqrt{2}$ puede escribirse como el cociente de dos números no coprimos, es decir $\sqrt{2}=\dfrac RS$ , donde $R$ y $S$ son mutuamente no copresentes. Pero todo número racional puede escribirse como una fracción en términos mínimos . Así que digamos que $\dfrac RS$ en sus términos más bajos es $\dfrac rs$ pero esto significa que $\sqrt{2}$ también es igual a $\dfrac rs$ , donde $r$ y $s$ son coprimos. Esto finalmente contradice la afirmación X por lo tanto, por contradicción $\sqrt{2}$ no puede escribirse como el cociente de dos números no coprimos, o la afirmación Y es cierto.

Pregunta:

1. ¿He demostrado correctamente el enunciado Y a partir de X?

2. ¿Por qué el libro menciona directamente " $\sqrt{2}$ es irracional" sin justificar la afirmación Y? ¿Es la justificación demasiado trivial para ser mencionada?

3. ¿Existe alguna otra forma que la mía (prueba por contradicción) para deducir Y de X?

Sólo quiero aclarar estas tres dudas, nada más.

Answer 1

¿Qué es un número racional? La definición que utilizo es que es un número que puede escribirse como un cociente de dos enteros. Si tu libro no dice explícitamente que los enteros pueden ser coprimos, es porque la noción de fracción reducida es fundamental para trabajar con fracciones. No puedes trabajar con fracciones hasta que creas que pueden escribirse en una única forma reducida, y que su numerador y denominador serán coprimos.

Si quieres, puedes demostrarlo con el teorema fundamental de la aritmética. Suponga que su número racional $q$ puede escribirse como el cociente de enteros $\frac{a}{b}$ . Entonces, por el teorema fundamental de la aritmética, $a$ y $b$ tienen factorizaciones únicas en primos. Así que factorízalos, y los factores que aparecen en ambos se cancelarán. Entonces tienes un numerador y un denominador coprimos.

En la prueba que intentas, no veo la necesidad de la contradicción. Declaración X y Y se implican mutuamente. Si tienes un cociente de números no coprimos, redúcelo. Si tienes un cociente de números coprimos, multiplica ambos por 2 y ahora tienes un cociente de números no coprimos. (Las afirmaciones que has escrito son el contrapositivo de esto).

Answer 2

Sea sqrt(2) = a/b donde a y b no son coprimas, es decir, tienen un divisor común >= 2, por lo que d = gcd(a, b), a'=a/d, b'=b/d. Ahora a'/b' = a/b = sqrt(2), y a', b' son coprimos.