Principal de orden causa de la diurnos (no semidiurna) variaciones en $g$?

Question

El siguiente gráfico muestra el resultado de una muy impresionante de medición diferencial del campo gravitacional en Boulder, Colorado, durante un período de un par de días.

Floris obtuvo a partir de una descripción en un libro y lo publicó como parte de una respuesta a esta pregunta. Basado en el título, supongo que el experimento que se describe en este documento por Zumberge, que no tengo acceso.

Hay un excelente acuerdo entre teoría y experimento, y las principales características de la gráfica son estos dos componentes de Fourier:

• periodo=12 hrs, de pico a pico de la amplitud de la $\approx 1.8\times10^{-7}g$

• periodo=24 hrs, de pico a pico de la amplitud de la $\approx 1\times10^{-7}g$

Además, hay una lenta tendencia, que supongo que viene de la interferencia entre la energía solar y lunar efectos.

Suponiendo que perfectamente rígida de la tierra, la energía solar no efecto no efecto de las mareas del océano, y una de dos dimensiones de la geometría, mi cálculo en esta respuesta da el siguiente para $g_Z$, el campo aparente cuando la luna está en el cenit, y $g_N$, cuando la luna está en su punto más bajo.

$$ \frac{g_N}{g_0} = 1 -\frac{ 2Gmr}{g_0R^3} + \frac{3Gmr^2}{g_0R^4} $$

$$ \frac{g_Z}{g_0} = 1 -\frac{ 2Gmr}{g_0R^3} - \frac{3Gmr^2}{g_0R^4} $$

La diferencia es $(6Gmr^2/g_0R^4)=6\times10^{-9}$, que es demasiado pequeño para explicar lo observado diurno efecto.

Tengo entendido que las mareas del océano pueden tener no sólo un componente semidiurna pero un diurna uno así. No sé por qué es. Cualquiera que sea el mecanismo es, posiblemente ese mismo mecanismo también podría causar la diurna efecto que se observa aquí. Supongo que el campo gravitacional del océano en sí no es el responsable del efecto observado aquí, ya que el experimento fue hecho en Boulder, Colorado.

La espectacular acuerdo entre teoría y experimento muestra que la diurna experimento debe ser bien entendido en teoría. ¿Cuál es la causa?

Answer 1

Creo que la explicación puede encontrarse en el Manual de Análisis Armónico y la Predicción de Mareas :

En la obtención de expresiones matemáticas para la marea de la producción de fuerzas de la luna y el sol, los principales factores a ser tomados en consideración son la rotación de la tierra, la revolución de la luna alrededor de la la tierra, la revolución de la tierra alrededor del sol, la inclinación de la órbita de la luna a la tierra del ecuador, y la oblicuidad de la eclíptica.

La clave aquí es el hecho de que el eje de la tierra está inclinado respecto al plano de el sol, y que, en general, la luna no estará en el mismo plano. Por lo tanto, hay dos conjuntos de bultos - pero ellos no serán simétricos con respecto a la línea del ecuador. Lo que estamos viendo es, entonces, el hecho de que un típico punto de la tierra (del ecuador) estará más cerca de una protuberancia que el otro...

En esta imagen se puede ver que para una latitud dada lejos de la línea ecuatorial, se podrá "ver" más de un bulto de las mareas que la otra. Esta asimetría está presente tanto el lunar y el solar, las mareas (aunque en grado diferente, dado que la órbita de la luna está inclinado de manera diferente). El resultado es una de las 24 horas de los componentes.

Esto se describe muy bien en http://oceanmotion.org/html/background/tides-types.htm - la confirmación de que las mareas se vuelven más simétrica cuando la luna está sobre el ecuador, y menos cuando se mueve hacia el trópico de Cáncer o Capricornio.

Citando la referencia:

Diferentes tipos de mareas ocurren cuando la luna está al norte o al sur del ecuador. Mientras que semidiurna mareas se observan en el ecuador en todo momento, la mayoría de las localidades al norte o al sur del ecuador con experiencia de dos desigual de las mareas altas y dos desigual mareas bajas por las mareas día; esto se llama una mezcla de marea y la diferencia de altura entre los sucesivos alta (o baja) de las mareas se llama la desigualdad diurna. Cuando la luna está por encima del Trópico de Cáncer o Trópico de Capricornio, la diurna de la desigualdad es máxima y las mareas se llama trópico de mareas. Cuando la luna está por encima o casi por encima de la línea del ecuador, la diurna de la desigualdad es mínimo y las mareas son conocidos como ecuatorial mareas. Cuando la luna y sus mareas protuberancias son ya sea al norte o al sur del ecuador, la mayoría de los puntos en latitudes altas, en teoría podrían ser impactados por una marea alta y a experimentar una marea alta y una baja la marea por las mareas día. Este llamado marea diurna tiene un periodo de 24 horas y 50 min.

Si usted está interesado en la matemática, usted podría desear para pasar el tiempo de decodificación de este programa que implementa las ecuaciones y muestra un buen acuerdo con las observaciones.

EDITAR me picó la curiosidad y se convierte el código en el enlace de arriba para Python (para poder ejecutar). Entonces me corrió para tres casos diferentes. El eje Y está en microgals ($1\ gal = 1\ cm/s^{2}$ - el galileo es la unidad común en este campo). Las unidades en el eje X son horas, pero la fecha está mal (he tenido algunos problemas inicialmente adaptar el código correctamente - creo que estas parcelas pueden corresponder a enero de 1981, pero no estoy seguro. El efecto, sin embargo, es real.)

Latitud = 0:

Latitud = 20:

Latitud = 40:

Es bastante obvio que la asimetría entre las mareas es una función de la latitud, solo en mi imagen de arriba podría predecir, y aunque existen claras discrepancias entre este argumento y el uno en el original en papel, la forma general y la magnitud es el mismo - especialmente para la latitud de 40 ° (Boulder es a los 40 grados de latitud). Creo que hemos encontrado al culpable.

POSTSCRIPT

He tenido algunos problemas para obtener la salida de mi programa para que coincida con la figura; pero me lo imaginé. Aquí es la superposición de los datos con el resultado del programa para el mes de Mayo 2/3/5 de 1981, para la latitud de 40°, longitud 105:

Y aquí está el código de Python (nota - me tomó el código BÁSICO y adaptada como poco como sea posible... esto no es que se ofrecen para la revisión de código, sólo para referencia!)

"""
From the original:

'  TIDE-ACD.BAS
'
'       Copyright, 1993, J. L. Ahern
'
'  Calculates the acceleration due to the sun and moon at a given location,
'    for every hour, beginning at a specified hour, day, month and year.
'    Value calculated is the UPWARD pull due to the sun and moon. To use
'    as correction to measured gravity data, you would need to ADD these
'    numbers, not subtract them.  When the moon is overhead, for example
'    this program predicts a relatively large positive number, indicating
'    a large upward pull due to the moon. This would result in a DECREASE
'    in a gravity meter reading. Thus the tide value would be ADDED to
'    correct for this effect.
'
'    Based on equations presented by
'
'       Schureman, P., A manual of the harmonic analysis and prediction of
'         tides. U.S. Coast and Geodetic Survey, Spec. Pub. 98, 1924 (revised
'         in 1941 and 1958).
'
'  and collected by
'
'       Longman, I. M., Formulas for computing the tidal acceleration due to
'         the moon and the sun. J. Geophys. Res., 64, 2351-2355, 1959.
'
'  Love numbers from Stacey, Physics of the Earth.
'
'  Algorithm for computing days since 1900 seems to be correct (except for
'    for first 3 months of 1900); Excel calls Jan. 1, 1900 day 1 (not day
'    0) and then mistakenly includes a leap day in 1900, even though 1900
'    is not divisible by 400. Quattro correctly skips the leap year in
'    1900, but calls Jan. 1, 1900 day 2, apparently so it gives the same
'    results as Excel (and probably, Lotus 123)

This version adapted to Python by Floris for physics.stackexchange.com
- for illustration of the tides calculation only
Please do not rely on this code unless you check it carefully against the 
original source:

    http://gravmag.ou.edu/reduce/tide-acd.txt

"""
from math import sin,cos,asin,acos,atan, floor, sqrt
from numpy import arange, zeros
from datetime import date
import matplotlib.pyplot as plt

#Boulder:

lng=105
lamda = 40 # latitude
h = 160000  # elevation, cm; tides are VERY insensitive to elevation changes

plt.close()

#constants
pi = 3.1415927#
mu = 6.67E-08
m = 7.3537E+25
s = 1.993E+33
il = .08979719#
omega = .4093146162#
ml = .074804
el = .0549
cl1 = 1.495E+13
cl = 3.84402E+10
al = 6.37827E+08
# Love Numbers
h2 = .59
k2 = .27
LoveFactor = (1 + h2 - 1.5 * k2) #' w/h2=0.59 & k2=0.27, LoveFactor=1.185

# starting day of the month:
minc=[ 0,31,59,90,120,151,181,212,243,273,304,334]

g0max = 0
g0min = 0


minit = 0
timezone = 0 # offset in time vs gmt
hour = 16    # start at 4 pm in local time
day = 2      # May 2, 1981
month = 5
year = 1981
nhours = 55
hrinc = 0.5
xb = hour + timezone
xe = xb + nhours
# algorithm doesn't work for the first two months of 1900
ii=0
nn = nhours / hrinc
xx=zeros(nn)
yy=zeros(nn)
for hrgmt in arange(xb, xe, hrinc):
        dday = day + hrgmt / 24
        tl0 = hrgmt + minit / 60
        nleap = int((year - 1900) / 4)
        if (year % 4 == 0 and month < 3):
            nleap = nleap - 1

        xm = minc[month-1]
        tdays = .5 + (year - 1900) * 365 + nleap + xm + (day - 1) + tl0 / 24

        t = tdays / 36525
        n = 4.523601612 - 33.75715303 * t + .0000367488 * t * t + .0000000387 * t * t * t
        el1 = .01675104 - .0000418 * t + .000000126 * t * t
        sl = 4.720023438 + 8399.7093 * t + .0000440695 * t * t + .0000000329 * t * t * t
        pl = 5.835124721 + 71.01800935999999 * t - .0001805446 * t * t - .0000002181 * t * t * t
        hl = 4.881627934 + 628.3319508 * t + .0000052796 * t * t
        pl1 = 4.908229467 + .0300052641 * t + 7.902400000000001E-06 * t * t + .0000000581 * t * t * t
        i = acos(.9136975738000001 - .0356895353 * cos(n))
        nu = asin(.0896765581 * sin(n) / sin(i))
        L = lng * .0174532925
        tl = (15 * (tl0 - 12) - lng) * .0174532925  # magic number converts degrees to radians: 2 pi / 360
        chi = tl + hl - nu
        chi1 = tl + hl
        ll1 = hl + 2 * el1 * sin(hl - pl1)
        cosalf = cos(n) * cos(nu) + sin(n) * sin(nu) * .9173938078
        sinalf = .3979806546 * sin(n) / sin(i)
        alf = 2 * atan(sinalf / (1 + cosalf))
        xi = n - alf
        sigma = sl - xi
        ll = sigma + .1098 * sin(sl - pl) + .0037675125 * sin(2 * (sl - pl)) + .0154002735 * sin(sl - 2 * hl + pl) + .0076940028 * sin(2 * (sl - hl))
        lm = lamda * .0174532925
        costht = sin(lm) * sin(i) * sin(ll) + cos(lm) * (((cos(.5 * i)) ** 2) * cos(ll - chi) + ((sin(.5 * i)) ** 2) * cos(ll + chi))
        cosphi = sin(lm) * .3979806546 * sin(ll1) + cos(lm) * (.9586969039 * cos(ll1 - chi1) + .0413030961 * cos(ll1 + chi1))
        c = 1 / sqrt(1 + .006738 * (sin(lm) ** 2))
        rl = 6.37827E+08 * c + h
        ap = 2.60930776E-11
        ap1 = 1 / (1.495E+13 * (1 - el1 * el1))
        dl = 1 / (1 / cl + ap * el * cos(sl - pl) + ap * el * el * cos(2 * (sl - pl)) + 1.875 * ap * ml * el * cos(sl - 2 * hl + pl) + ap * ml * ml * cos(2 * (sl - hl)))
        D = 1 / (1 / cl1 + ap1 * el1 * cos(hl - pl1))
        gm = mu * m * rl * (3 * (costht ** 2) - 1) / (dl * dl * dl) + 1.5 * mu * m * rl * rl * (5 * (costht ** 3) - 3 * costht) / (dl ** 4)
        gs = mu * s * rl * (3 * (cosphi ** 2) - 1) / (D * D * D)
        g0 = (gm + gs) * LoveFactor

        xx[ii]=day+(hrgmt-timezone)/24 # back to local time - in days
        yy[ii]=-g0 # flip the sign to match diagram
        ii=ii+1

plt.plot(xx[0:ii-1],yy[0:ii-1])
plt.show()

Answer 2

He publicado un enlace a un documento resumen de las mareas en un comentario de ayer. Que papel es Agnew, D. C. (2007), "Mareas de la Tierra", pp 163-195 en el Tratado de Geofísica: Geodesia, T. A. Arenque, ed., Elsevier. Dicho documento contiene la respuesta a su pregunta.

No sé cuánto tiempo que link va a durar, así que voy a resumir algunos de lo Agnew descrito. Este es un resumen de papel, no hay nada nuevo aquí. Mucho de esto es de 100 años de edad o más. La clave de trabajo en esto fue hecho por Sir William Thomson, George Darwin (Charles hijo), Doodson (google "Doodson número"), y A. E. H. Love (google "número de Amor", pero el reloj de la mis-hits.)

---

Supongamos que la Tierra está a cierta distancia $R(t)$ a partir de una gravitando cuerpo de masa $M$, medido de centro de masa el centro de masa, y supongamos que el ángulo entre la línea entre los dos cuerpos y un cierto punto de interés en la superficie de la Tierra es $\alpha(t)$. La energía potencial gravitacional debido a la gravitando cuerpo en ese punto es $V(t) = \frac{GM}{\rho(t)}$ donde $\rho(t)$ es la distancia entre el punto de interés y el gravitando cuerpo. (Nota: yo soy la adopción de la convención que la energía potencial es positiva, que es bastante estándar en tratados sobre las mareas.) Suponiendo una tierra esférica de radio $r$, $\rho(t)$ puede ser escrito en términos de $R$ $\alpha$

$$V(t) = \frac{GM}{R(t)}\frac 1 {\sqrt{1+(r/R)^2-2(r/R)\cos\alpha(t)}}$$

La expansión de este uso de polinomios de Legendre rendimientos

$$V(t) = \frac{GM}{R(t)}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac r R\right)^n P_n(\cos\alpha) $$

Queremos omitir la $n=0$ $n=1$ términos. El $n=0$ plazo puede ser omitido ya que no tiene la gradiente (en última instancia, deseamos la fuerza), y el $n=1$ plazo es el potencial en el centro de la Tierra. Así, la marea potencial de generación es

$$V_{\text{tide}}(t) = \frac{GM}{R(t)}\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac r R\right)^n P_n(\cos\alpha) $$

El siguiente paso es volver a expandir esto en términos de armónicos esféricos. Que el ángulo de $\alpha$ es una función de donde la gravitando cuerpo en el espacio y en el tiempo, cómo la Tierra está orientado en el tiempo, y la latitud y longitud del punto.

Algunos spherical cow supuestos: se supone que la Tierra está girando de manera uniforme con velocidad angular $\Omega$, el punto en cuestión está a 0° de latitud, 0° de longitud, de que el cuerpo está en órbita circular con velocidad angular $\beta$ e inclinación $\varepsilon$ , y que en el momento $t=0$ el cuerpo estaba en su nodo ascendente con una longitud del nodo ascendente igual a cero.

Con una gran cantidad de trabajo, el $n=2, m=2$ plazo de la armónica esférica de expansión lleva a tres armónicos con frecuencias angulares de $2\Omega$, $2\Omega-2\beta$, y $2\Omega+2\beta$. Estos son los semidiurna mareas. El tercer término es normalmente despreciablemente pequeña. Con múltiples gravitando cuerpos, todos contribuirán un término a la dos veces por día sidéreo ($2\Omega$). Este es el semidiurna lunisolar marea, también bastante pequeño. El $2\Omega-2\beta$ plazo es enorme. Para la Luna, este es un período de 12.42 horas. Para el Sol, es exactamente 12 horas.

Con más trabajo, el $n=2, m=1$ plazo de la armónica esférica de expansión lleva a tres más armónicos con frecuencias angulares de $\Omega$, $\Omega-2\beta$, y $\Omega+2\beta$. El $\Omega$ plazo una vez más, comprende las contribuciones de múltiples órganos. El $\Omega-2\beta$ términos son únicas en cada cuerpo. Estas son las mareas diurnas, y ellos son lo que ustedes están viendo en ese gráfico.

El panorama se vuelve mucho más complejo cuando te deshaces de esos spherical cow supuestos.

Answer 3

Una visión general de cómo hacer las correcciones en las mareas es en http://gravmag.ou.edu/reduce/reduce.html (de Googlear 'la gravedad de marea de corrección). Usted puede también seguir mirando http://www.applied-gravity.com/gb/html/tides.html.

De http://eclipse.gsfc.nasa.gov/phase/phases1901.html uno puede ver que el 4 de Mayo de 1981 (el Zumberge papel) era una luna nueva. Para el primer enlace, a la escala de tiempo es relativa a 25 de Marzo de 1993, es decir, dos días después de la luna nueva. El segundo enlace muestra las mareas variaciones de más de un mes completo (septiembre de 2003, 9/25 es la luna nueva).

Espero que esto te ayuda...