Necesita ayuda en Furstenberg prueba de la infinitud de los números primos

Question

Tengo una pregunta sobre esta prueba dada por Furstenberg prueba de la infinitud de los números primos. Yo soy un no-matemático con algunos conocimientos básicos sobre la teoría de conjuntos y la topología.

Definir para $a,b\in\mathbb{Z}$ donde $a\neq0$ el conjunto $$S(a,b)=\{an+b:n\in\mathbb{Z}\}.$$

La entrada de la Wikipedia dice que la identifican $$S(a,b)=\mathbb{Z}\setminus\bigcup_{j=1}^{a-1}S(a,b+j)$$ holds for all $a,b\in\mathbb{Z}$ where $\neq0$. No veo por qué este es el caso. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Si $x\in S(a,b)$ $x=an+b$ algunos $n\in \mathbb Z$. Entonces claramente $x\in \mathbb Z$, tan sólo tenemos que demostrar que $$x\notin \bigcup _{j=1} ^{a-1}S(a,b+j).$$ Suppose to the contrary that this was not the case. Then $x\in S(a,b+j)$ for some $1\le j\le un 1$, and thus $x=am+b+j$ for some $m\in \mathbb Z$. But then we get that $an+b=am+b+j$ which yields $a(n-m)=j$. This is impossible since $1\le j\le un-1$. So, this argument shows that $$S(a,b)\subseteq \mathbb Z-\bigcup_{j=1}^{a-1}S(a,b+j).$$

La prueba de la otra inclusión es similar.

Answer 2

Notaciones como en la cuestión del cuerpo.
Sugerencia: Para cualquier entero $n$, existe un único entero $1\le m\le a$ tal que $a\mid (n-m)$.
Y $n\in S(a,b) \iff a\mid (b-m)$.
Por lo tanto, si $n\not\in S(a,b)$,$a\not\mid (b-m)$, mientras que $a\mid (b+j-m)$ algunos $j$.
Se puede tomar desde aquí?
Gracias y saludos.