Dejemos que $A$ sea un anillo con $0 \neq 1 $ que tiene $2^n-1$ elementos invertibles y menos elementos no invertibles. Demostrar que $A$ es un campo.
Respuesta
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azimut
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Paso 1 : La característica de $A$ es $2$
(El mérito de esta observación es de Jyrki Lahtonen)
La cartografía $x\mapsto -x$ es una involución en $A^\times$ . Desde $\lvert A^\times\rvert = 2^n - 1$ es impar, tiene un punto fijo. Así que $a = -a$ para un $a\in A^\times$ . Multiplicación con $a^{-1}$ produce $1 = -1$ .
Paso 2 : $\lvert A\rvert = 2^n$
A partir de las condiciones previas de $A$ sabemos $$2^n - 1 < \lvert A \rvert < 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2.$$ En el paso 1, el grupo aditivo de $A$ es un $2$ -grupo, por lo que $\lvert A\rvert$ es una potencia de $2$ . La única posibilidad que queda es $\lvert A\rvert = 2^n$ .
Paso 3 : $A$ es un campo
A partir del paso 2 y $\lvert A^\times\rvert = 2^n - 1$ sabemos que todos los elementos no nulos de $A$ son invertibles. Por lo tanto, $A$ es un campo sesgado finito. Ahora por El pequeño teorema de Wedderburn , $A$ es un campo.
