La pregunta es :
Dejemos que $G$ sea un grupo finito y supongamos que el automorfismo $T$ envía más de tres cuartas partes de los elementos de $G$ en sus inversos.
Demostrar que $T(x)=x^{-1}$ para todos $x\in G$ y que $G$ es abeliana.
Lo que pude ver es...
Una vez que pruebe $T(x)=x^{-1}$ para todos $x\in G$ entonces tendría que $G$ es abeliana.
Porque, para cualquier $a,b\in G$ tenemos
$b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}=T(ab)=T(a)T(b)=a^{-1}b^{-1}$
Así, $ab=ba$ para todos $a,b\in G$ Así, $G$ es abeliana.
Entonces, el único problema es demostrar que $T(x)=x^{-1}$ para todos $x\in G$
No puedo utilizar el hecho de que
" $T$ envía más de tres cuartas partes de los elementos de $G$ en sus inversos"
Tal vez debería tomar : $A=\{x\in G : T(x)=x^{-1}\}$ y ver si es un subgrupo (No lo es) o algo así.
Por favor, ayúdenme a aclarar esto.
Estoy muy entusiasmado con esta pregunta Así que por favor no estropear mi emoción mediante la publicación de la respuesta completa a la vez (Esta es una solicitud cum orden).
Por favor, ayúdame a hacer esto por mí mismo.
Muchas gracias :)