Un automorfismo de un grupo finito que envía más de tres cuartos de elementos a sus inversos

Question

La pregunta es :

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y supongamos que el automorfismo $T$ envía más de tres cuartas partes de los elementos de $G$ en sus inversos.

Demostrar que $T(x)=x^{-1}$ para todos $x\in G$ y que $G$ es abeliana.

Lo que pude ver es...

Una vez que pruebe $T(x)=x^{-1}$ para todos $x\in G$ entonces tendría que $G$ es abeliana.

Porque, para cualquier $a,b\in G$ tenemos

$b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}=T(ab)=T(a)T(b)=a^{-1}b^{-1}$

Así, $ab=ba$ para todos $a,b\in G$ Así, $G$ es abeliana.

Entonces, el único problema es demostrar que $T(x)=x^{-1}$ para todos $x\in G$

No puedo utilizar el hecho de que

" $T$ envía más de tres cuartas partes de los elementos de $G$ en sus inversos"

Tal vez debería tomar : $A=\{x\in G : T(x)=x^{-1}\}$ y ver si es un subgrupo (No lo es) o algo así.

Por favor, ayúdenme a aclarar esto.

Estoy muy entusiasmado con esta pregunta Así que por favor no estropear mi emoción mediante la publicación de la respuesta completa a la vez (Esta es una solicitud cum orden).

Por favor, ayúdame a hacer esto por mí mismo.

Muchas gracias :)

Answer 1

Este es un viejo problema de Herstein, y en mi opinión, difícil de resolver sin algunas pistas:

Dejemos que $A = \{x \in G : T(x) = x^{-1}\}$ y quieres demostrar que $A = G$ (y así concluir que $G$ es abeliana).

Tome $a\in A$ y considerar $K = A\cap a^{-1}A$ . Teniendo en cuenta lo que sabe sobre $|A|$ Compruebe que $$ |K| \geq |G|/2 $$ Para cualquier $x\in K$ , ya que $x \in A$ y $x\in a^{-1}A$ Compruebe que $xa = ax$ . Concluir que $K \subset C(a)$ .

Esto es cierto para cada $a \in A$ .

Ahora bien, ¿qué se puede decir de $Z(G)$ ?