Es esta una prueba directa de una desigualdad mal?

Question

Mi profesor gradual mi prueba como un cero, y estoy teniendo un tiempo difícil ver la razón de ser calificada como tal. Él cometido un error en la calificación o que me falta en mi entendimiento. Espero que alguien pueda ayudar a resolver. La prueba es como sigue:

Objetivo: Si $n$ es un entero positivo, entonces $\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$.

Prueba: Supongamos $n$ es un entero positivo.

Observar, $\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$

$\frac{n(n+1)}{n+1} > \frac{n(n+1)}{n+2}$

$n > \frac{n^2+n}{n+2}$

$n(n+2) > \frac{(n^2 + n)(n+2)}{n+2}$

$n^2 + 2n > n^2 + n$

$n^2 - n^2 + 2n > n^2 - n^2 + n$

$2n > n$

Desde $2n > n$ para todos los enteros positivos, entonces $\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$ para todos los enteros positivos.

Por lo tanto, si $n$ es un entero positivo, entonces $\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$. Q. E. D.

Aquí están las notas sobre el problema por parte del profesor:

"Se supone Q! Usted no puede asumir su conclusión!"

Muestra que $2n > n$ se reduzca a $n > 0$ y los puntos de una flecha 'Asumir que n es un entero positivo' "lógica Circular."

"Por el camino... reducir a la mentira, es una válida de la verdad(técnica de la prueba por contradicción), pero la reducción a la verdad le dice nada."

Answer 1

El problema es que usted no dijo que esos son equivalencias (usualmente denotado por $\iff$) entre sus líneas. Y usted no necesita las equivalencias, sólo se necesita el implicatiosn desde la parte inferior a la parte superior, por lo que tal vez debería escribir su prueba "al revés".

La forma en que su prueba sea presentada ahora hace que se vea como la parte superior implica la parte inferior. (Que lo hace) pero eso no significa que el fondo implica la parte superior. Así que me gustaría escribir:

---

Para cualquier entero positivo $n$ la siguiente desigualdad, obviamente, se tiene:

$$2n > n$$

Esto implica $$n^2-n^2+2n > n^2-n^2+n$$

etc.

---

Aviso que esta es también la manera que te gustaría leer su prueba de lo que la gente entiende. Y es importante darse cuenta de que esto no es necessarly de la manera que encontró la prueba.

Cuando encuentras una prueba en alguna parte que usted puede estar bastante seguro de que la forma en que se presenta tiene nada que ver con la forma en la que demostró que encontró la prueba. Es realmente acaba de anotar muy bien para que el lector sea capaz de bien seguir la cadena de argumentos.

Pero no te preocupes, escribir "bonito" pruebas toma un tiempo al principio de la matemática de la carrera=)

Respecto a la observación: Se podría demostrar la desigualdad por contradicion, por ejemplo, supongamos que la desigualdad no se sostiene, y luego encontrar una contradicción, pero esto no es necesario aquí.

---

EDIT: me parece que usted no está familiarizado con el concepto de implicaciones lógicas. Si dos de los enunciados matemáticos $A,B$ (por ejemplo, ecuaciones, desigualdades, etc.) significan la misma cosa, son llamados equivalente, que se denota por la bidireccional doble flecha. $$A \iff B$$

Ejemplo: supongamos $x$ ser un número real. A continuación, siguiente equivalencia se tiene: $$x -5 = 0 \iff x = 5$$

Pero si $A$ sólo si $B$ se mantiene, entonces podemos decir $A$ implica $B$ o, alternativamente, "si $A$ sostiene, a continuación, $B$ debe mantener". Esto es indicado por un simple doublearrow: $$A \implies B$$

Ejemplo: supongamos $x$ ser un número real. A continuación, las siguientes implicación se tiene:

$$x = 5 \implies x^2 = 25$$ But "the other way around" is not necessarily true, as the right statement is also true for $x=-5$ pero no el de la izquierda.

Answer 2

La prueba no funciona porque la conclusión de una declaración verdadera es irrelevante. Una prueba por contradicción funciona porque una premisa verdadera sólo los rendimientos de los verdaderos resultados, por lo tanto, si usted consigue un resultado falso su premisa tenía que ser falso.

No funciona de la otra manera. Ambas verdaderas y falsas premisas pueden producir verdaderos resultados por lo que conseguir un cierto resultado de los rendimientos de nada.

Considere esto una prueba de que 5=-5. Asume 5 = -5, a continuación, $5^2=(-5)^2 \implies 25=25\implies 0=0$ 0=0, esto es cierto.

Bueno, ¿y qué? Que no significa que nuestro primer comentario era cierto.

Su profesor hizo 3 buenos comentarios. Prestar atención a ellos.

Answer 3

De las muchas respuestas que aquí se señalan acertadamente su error - que están trabajando hacia atrás. Parece que tienes problemas para entender las respuestas a esas preguntas. Tomar consuelo en el hecho de que usted no está solo. Muchos estudiantes tienen dificultades con este problema.

Aquí una crítica de su argumento de que puede ayudar a usted (es esencialmente un cambio en la redacción de @flawr 's aceptado la respuesta).

La primera línea de la prueba es

Observar, $\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$

Que le pide a su lector

Observar ... LA COSA ESTÁ TRATANDO DE DEMOSTRAR

Bueno, si es que eran fáciles de observar, a continuación, usted no tiene que demostrarlo. Usted necesita un argumento que comienza a partir de algo fácil de observar y procede lógicamente a la conclusión que usted desea. Para empezar

Observar que $2n > n$ (desde $n$ es un número entero positivo)

y, a continuación, utilizar su algebraicas habilidades para conseguir lo que quiere convencer a su lector debe ser verdadera.

PS En tercer grado, los niños aprenden que es fácil comparar fracciones con el mismo numerador: el más pequeño es el denominador de la más grande de la fracción ya que el pastel se corta en menos de ahí trozos mayores. Pero su instructor probablemente no aceptaría que como una prueba ... La pregunta que habría sido más interesante si se le preguntara a usted para comparar el $\frac{n}{n+1}$$\frac{n+1}{n+2}$.

Answer 4

Usted podría tener éxito en este método, si usted hizo una prueba por contradicción.

En particular, podría haber supuesto que el $\frac{n}{n+1} \leq \frac{n}{n+2}$ y, a continuación, dedujo que esto implica $n \geq 2n$ lo cual es absurdo (por entero positivo $n$).

Answer 5

El problema es que usted asume la cosa que estamos tratando de probar y, a continuación, obtener algún otro hecho cierto de su asunción. Pero eso no prueba nada: tal vez tu suposición es falsa y el hecho es cierto por alguna otra razón.

Por ejemplo, considere la siguiente "prueba".

Supongamos $\pi=3$. A continuación,$\pi\cdot3^2=9\pi=27 > 16=4^2$, lo cual es cierto porque un cuadrado de lado a $4$ encaja dentro de un círculo de radio $3$. Por lo tanto, $\pi=3$.

Bien, $9\pi$ es mayor que $16$, pero eso no significa que $\pi=3$: de hecho, $9\pi$ sería mayor que $16$ si $\pi$ $2$ o $3.14159\ldots$ o $4$ o un millón.

Otras respuestas ya incluyen la relación entre este y la prueba por contradicción, así que no voy a repetir eso.

Se ha demostrado que la desigualdad podría ser cierto, en que parece implicar razonable de las cosas. Que sería un útil primer paso si usted no sabe si la desigualdad era cierto o no. Pero no es una prueba. De esta forma, una gran cantidad de investigación que se inicia: usted viene para arriba con una hipótesis y ver si sus consecuencias parecen razonables. Si las consecuencias parecen ser razonables, a continuación, intenta llegar con una prueba.