Alice y Bob están jugando un juego de la participación de dos dados. Si la suma de 12 aparece, Alicia gana y que deje de jugar. Si un 7 aparece dos veces en una fila, Bob gana y que deje de jugar. ¿Cuál es la probabilidad de que Bob gana este juego?
Mi pensamiento fue para dibujar un diagrama de árbol, lo cual hice, pero me parece que no puede envolver mi cabeza alrededor de la recursividad que es en el problema. ¿Cómo puedo poner esto en el árbol? Gracias!
Vamos a llamar a la probabilidad de que Bob gana ser $x$.
En la primera tirada de dos dados, hay tres opciones:
Los dados muestran una suma de $12$ (probabilidad de $\frac{1}{36}$) y Alice iba a ganar de inmediato.
Los dados muestran una suma de $7$ (probabilidad de $\frac{1}{6}$) y esta es un poco más complicado (véase el siguiente diagrama de árbol, donde vamos a la probabilidad de que Bob finalmente ganaría en este caso ser $a$ por el momento).
Los dados muestran una suma de algún otro número (la probabilidad de $\frac{29}{36}$) y esta sería una recursividad en sí mismo. La clave aquí es que si el número de laminados no era un 7 o un 12, entonces la situación es exactamente la misma que sería el número no se ha extendido a todos.
El quid es que la probabilidad de Bob ganar ($x$) es igual a:
$$x = \frac{1}{36}(0) + \frac{1}{6}(a) + \frac{29}{36}(x)=\frac{a}{6} + \frac{29x}{36} = \frac{6a+29x}{36}$$
¿Ver donde tengo esto?
Ahora para el otro diagrama de árbol. Esto es suponiendo que los dados mostró una suma de 7 en el primer rollo. De nuevo, hay tres posibilidades:
Los dados muestran una suma de $12$ (probabilidad de $\frac{1}{36}$) y Alice iba a ganar de inmediato.
Los dados muestran una suma de $7$ (probabilidad de $\frac{1}{6}$) y Bob iba a ganar de inmediato.
Los dados muestran una suma de algún otro número (la probabilidad de $\frac{29}{36}$) y esta sería una recursividad de vuelta al primer árbol (y la probabilidad de Bob, finalmente, la ganancia sería de $x$ nuevo).
Por eso, $a$, la probabilidad de que Bob gana dado que llegaron a este árbol, es:
$$a = \frac{1}{36}(0) + \frac{1}{6}(1) + \frac{29}{36}(x) = \frac{1}{6} + \frac{29x}{36} = \frac{6+29x}{36}$$
Sustituir esto en la otra ecuación y resuelve $x$:
$$x = \frac{6a+29x}{36} = \frac{6\left(\frac{6+29x}{36}\right)+29x}{36} = \frac{\frac{6+29x}{6}+29x}{36}=\frac{6+203x}{216}$$
$$216x = 6+203x$$
$$13x = 6$$
$$x = \boxed{\frac{6}{13}}$$
La probabilidad de que Bob gana es $\frac{6}{13}$ (y la probabilidad de que Alicia gana es $1-\frac{6}{13}=\frac{7}{13}$).
Deje $P(B)$ la probabilidad de que Bob gana el juego. Vamos a tener tres casos, se basan en la primera tirada del juego:
X) en el Primer rollo sumas a $12$
Y) Primer rollo sumas a $7$
Z) en el Primer rollo sumas de dinero a otra cosa que a $12$ o $7$.
Como estos casos son distintos, podemos escribir $P(B)$ como una suma de probabilidades condicionales, es decir, $$ P(B)=P(X)P(B|X)+P(Y)P(B|A)+P(Z)P(B|Z). $$ Claramente $P(B|X)=0$, como en este caso Alicia gana de inmediato.
Voy a saltar a $P(B|Z)$, ya que es un poco más sencilla. Si no $12$ ni $7$ es la primera suma, entonces, esencialmente, Bob y Alice acaba de empezar a jugar el juego otra vez. Por lo tanto $P(B|Z)=P(B)$.
Para $P(B|Y)$, el segundo rollo sumas a $7$ y Bob gana, o el segundo rollo sumas a $12$ y Bob pierde, o el segundo rollo sumas de dinero para otra cosa y el juego comienza de nuevo otra vez. Por lo tanto $P(B|Y)=1/6\times1+1/36\times0+29/36\times P(B)$. Por lo tanto, tenemos $$ P(B)=1/36\times0+1/6\times(1/6+29/36 P(B))+29/36\times P(B). $$ Todo lo que queda es resolver para $P(B)$. Esto conduce a $P(B)=6/13$.
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