He mirado a través de alguna de las anteriores preguntas publicadas sobre este tema, y creo que la mía es diferente.
Hay un error en la definición de la división por cero? Por ejemplo, definir
$\frac{a}{0} = \infty_a$
parece como funcionan las cosas ahora, por ejemplo,
$\frac{a/0}{b/0}=\frac{\infty_a}{\infty_b}=a/b$.
¿Qué podría ir mal con esta idea, o más específicamente, se define en alguna rama de las matemáticas?
Es de suponer que por la no-cero $a$$\frac{1}{\infty_a} = \frac{0}{a} = 0$, por lo que esto sugiere que para los no-cero $a$ $b$ que $\frac{1}{\infty_a} = \frac{1}{\infty_b}$, lo que a su vez sugiere ${\infty_a} = {\infty_b}$, por lo que quizás $a=b$. Más brevemente $\frac{1}{\infty_a} = 0$ sugiere $\infty_a = \frac{1}{0} = \infty_1$.
Dudo que la intención de este, por lo que en algún momento las distinciones que usted está tratando de crear o de las manipulaciones que con la esperanza de conservar se pierden.
No "falla", más bien, "podría ser definido de manera diferente". La introducción de nuevas definiciones para la división por 0, incluidos los nuevos números, de la siguiente manera tradicional recorrido por los demás. Para el fondo general, ver a Patrick Suppes' Introducción a la Lógica, Capítulo 8, Apartados 5 y 7, tituladas, respectivamente, el Problema de La División por Cero y Cinco Aproximaciones a la División por Cero.[a] ejemplos Específicos definir la división por 0 incluyen Praderas de[b], Ruedas (Carlström, 2004), las Ruedas (Setzer, 1997), así como el plano complejo extendido y sus familiares que utilizan uno o más punto(s) al infinito (por ejemplo, el (affinely extendido de los números reales), o las transformaciones de Möbius (es decir, el punto exacto de la real aritmética de Edalat y Potts).[c] los Prados, los siguientes Suppes enfoque de los 3, es el único que no utiliza una nueva definición.
La introducción de un nuevo tipo de número como sugieren sigue Suppes' cuarto enfoque, el que se dice que es "más en consonancia con el ordinario de la práctica de matemáticas". Como tú, he pensado acerca de la introducción única de cocientes, pero hay razones por las que no realiza normalmente con 0 - la media aritmética es muy limitada. Para evitar, al menos, algunas de estas limitaciones, he jugado un poco con ir un paso más allá. He reemplazado 0 con un nuevo cero a partir de la cual únicos coeficientes de surgir.
Un par de cosas que he hecho hasta el momento para definir un número diferente de nada:
Para lograr 2, el nuevo cero será en dos partes. Una parte indicará "ausencia" y la otra parte se indican, en este caso, los reales. La división, y la única división que, va a cambiar el ausente en el presente. De lo contrario, el nuevo, "ausente", cero funciona igual que 0. Así
Por lo que la notación $/1/\infty $ o $ \overline{\frac{1}{\infty}} $ leer "la ausencia de la reciprocidad de los reales".
Un ejemplo de la obtención de un(n) único cociente.$$ \frac{4}{\overline{\frac{1}{\infty}}} = \infty_4 $$
División inactiva la ausencia de la barra, con lo que el ausente presente. Ahora podemos aplicar las reglas habituales de fracciones complejas. El "revelado" de reales, a continuación, extender ortogonal de 4. Geométricamente, esta sería una línea que se extiende desde el punto en el 4 en la recta numérica real.
Este cero no tiene un recíproco porque $$ \overline{\frac{1}{\infty}} \times \infty_4 $$ still equals zero. Yet, by definition, $\infty_4 $ has a reciprocal - the "free" or "revealed" part of the new zero. $$ \infty_4 \times \frac{1}{\infty} = 4 $$ With repeated division a plane can be constructed, as well as other objects. Basic arithmetic operations seem to make it possible to construct $n$-real dimensión del espacio. Hablando visualmente, con un nuevo número cero es posible llevar a cabo operaciones aritméticas, no sólo con los puntos en la recta numérica real, pero también con líneas, planos, y otros más dimensiones de las construcciones.
Menos subdesarrollados versión algo simplificada de la aritmética introducido aquí que yo he estado jugando con puede encontrarse en mi papel de Colocación de 0.
Notas a pie de página.
[un] las Secciones 8.7 y 8.5 comenzar en las páginas 181 y 184 de la PDF enlazadas, no las páginas que aparecen en la tabla de contenido.
[b] ArXiv tiene papeles por un número de matemáticos utilizando "los prados" en el título. Una visión general de su programa de investigación y enlaces a documentos está aquí http://staff.science.uva.nl/~janb/FAM/topFAM.html
[c] los Enlaces a las referencias que los autores pueden ser encontrados en la bibliografía para el papel de "Sustitución de 0" vinculado al final de mi respuesta anterior y en mi perfil de usuario.
[d] Penrose define $\infty$ como una matriz de números reales. John Wallis, el inventor del símbolo de infinito, lo hicieron de forma implícita.
No voy a considerar la posibilidad de $a=0$ (es decir, el cociente $\frac{0}{0}$) como podemos construir funciones de cálculo límite inicialmente tiende a $\frac{0}{0}$ después de algo de trabajo resulta ser cualquier número real que nos gustaría. Puede darse el caso de que el permitir a $\infty_0$ podría ser útil, por ejemplo, tenemos la $0 = 0 \cdot \infty_0$, pero yo no lo considero aquí.
Me di cuenta de André Nicolás post, mostró que permite la división por cero termina siendo trivial cuando se supone que los nuevos elementos que se añaden obedecer la ley distributiva. Así que mi conclusión es que si estos nuevos números están bien definidas, entonces no podemos usar la propiedad distributiva con ellos.
Lo que sigue son algunas reflexiones en ese sentido.
Suponga que $a \neq 0$ y definen $\frac{a}{0} = \infty_a$ algún elemento $\infty_a$. Ciertamente, $\infty_a$ no es un número real, así que vamos a extender $\mathbb{R}$ a un nuevo conjunto de $\mathbb{R}^{\dagger}$ que incluye todos los $\infty_x$ todos los $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
¿Qué propiedades de este conjunto ampliado $\mathbb{R}^{\dagger}$? Hemos decidido anteriormente que no tienen la propiedad distributiva.
Bien, sabemos que el $\frac{a}{0} = \infty_a$, por lo que quizás $a = 0 \cdot \infty_a$. Esto nos parece extraño, porque sabemos que para cualquier número real, la multiplicación por cero da siempre cero. Así que estamos en una encrucijada. Podemos hacer una de dos cosas:
(1): podemos decir "el nuevo conjunto $\mathbb{R}^{\dagger}$ sigue las reglas de la multiplicación por cero, en cuyo caso se derivaría $a=0$, lo cual es una contradicción (recuerda que asumió $a \neq 0$ en el comienzo). Si ejecutamos esta restricción, encontramos nuestro nuevo conjunto de números paradójico y, a continuación, deshacerse de ellos.
(2): se permite que esta extraña propiedad de cero en este nuevo conjunto y aceptar todas las consecuencias de su uso.
Aquí es una consecuencia de (2):
Proposición: Si $\mathbb{R}^{\dagger}$ es asociativa y conmutativa, entonces sólo contiene tres elementos.
Prueba: Vamos A $a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Ahora desde que asumió (2), sabemos $a=0 \cdot \infty_a$$b = 0 \cdot \infty_b$, por lo tanto consideramos que el producto $ab = (0 \cdot \infty_a) (0 \cdot \infty_b)$.
Podemos escribir este producto en dos formas:
$$(i): (0 \cdot \infty_a) (0 \cdot \infty_b) = (a \cdot 0) \cdot \infty_b = 0 \cdot \infty_b = b, $$
pero en el otro lado
$$(ii): (0 \cdot \infty_a) (0 \cdot \infty_b) = \infty_a (b \cdot 0) = \infty_a \cdot 0 = a.$$
Llegamos a la conclusión de que $a=b$. Así que tenemos $\mathbb{R}^{\dagger} = \{0, a, \infty_a \}$.
Tal vez no debemos asumir que la $\mathbb{R}^{\dagger}$ no es conmutativa o no asociativo o no tanto, entonces...
Lo que quiero mirar es llamado análisis no estándar. No dividir por cero, pero por infintesimals. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
